El cuadrado $ABCD$ en el plano coordenado tiene vértices en los puntos $A(1,1), B(-1,1), C(-1,-1)$ y $D(1,-1)$. Considera las siguientes cuatro transformaciones:

• $L$, una rotación de $90^{\circ}$ en sentido antihorario alrededor del origen;

• $R$, una rotación de $90^{\circ}$ en sentido horario alrededor del origen;

• $H$, una reflexión respecto del eje $x$; y

• $V$, una reflexión respecto del eje $y$.

Cada una de estas transformaciones lleva el cuadrado sobre sí mismo, pero las posiciones de los vértices etiquetados cambiarán. Por ejemplo, aplicar $R$ y luego $V$ enviaría el vértice $A$ en $(1,1)$ a $(-1,-1)$ y enviaría el vértice $B$ en $(-1,1)$ a sí mismo. ¿Cuántas secuencias de $20$ transformaciones elegidas de $\{L, R, H, V\}$ enviarán todos los vértices etiquetados de vuelta a sus posiciones originales? (Por ejemplo, $R, R, V, H$ es una secuencia de $4$ transformaciones que enviará los vértices de vuelta a sus posiciones originales.)

Solución en video:

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Solución escrita:

Cada una de las transformaciones $L,R,H,V$ mueve cada vértice a una esquina adyacente del cuadrado.

Por lo tanto, después de un número impar de transformaciones, el etiquetado está en uno de los cuatro estados de paridad impar. Después de cualesquiera primeras $19$ transformaciones, el cuadrado está en un estado de paridad impar; desde cada estado de paridad impar, exactamente una de $L,R,H,V$ envía los vértices etiquetados de vuelta a sus posiciones originales. Así, cada secuencia de las primeras $19$ transformaciones tiene exactamente una transformación final válida.

Hay $4^{19}=2^{38}$ opciones para las primeras $19$ transformaciones, así que hay $2^{38}$ secuencias válidas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each of $L,R,H,V$ moves every vertex to an adjacent corner of the square. Therefore after an odd number of transformations the labeling is in one of the four odd-parity states, and after an even number it is in one of the four even-parity states.

After any first $19$ transformations, the square is in an odd-parity state. From each odd-parity state, exactly one of $L,R,H,V$ sends the labeled vertices back to their original positions. Thus every sequence of the first $19$ transformations has exactly one valid final transformation.

There are $4^{19}=2^{38}$ choices for the first $19$ transformations, so there are $2^{38}$ valid sequences.

Thus, C is the correct answer.