Question

Una operación binaria

\diamondsuit

tiene las propiedades de que

a\,\diamondsuit\, (b\,\diamondsuit \,c) = (a\,\diamondsuit \,b)\cdot c

y de que

a\,\diamondsuit \,a=1

para todos los números reales no nulos

a,

b,

y

c.

(Aquí el punto

\cdot

representa la operación de multiplicación usual.) La solución de la ecuación

2016 \,\diamondsuit\, (6\,\diamondsuit\, x)=100

se puede escribir como

\frac{p}{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale

p+q

?

A binary operation

\diamondsuit

has the properties that

a\,\diamondsuit\, (b\,\diamondsuit \,c) = (a\,\diamondsuit \,b)\cdot c

and that

a\,\diamondsuit \,a=1

for all nonzero real numbers

a,

b,

and

c.

(Here the dot

\cdot

represents the usual multiplication operation.) The solution to the equation

2016 \,\diamondsuit\, (6\,\diamondsuit\, x)=100

can be written as

\frac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers. What is

p+q?

109

201

301

3049

33{,}601

Respuesta: A

Conceptos:operación personalizada ecuación funcional

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Primero demuestra que

a\diamondsuit b=\frac{a}{b}

.

First prove

a\diamondsuit b=\frac{a}{b}

Pista grande:

Luego calcula

2016\diamondsuit(6\diamondsuit x)

.

Then compute

2016\diamondsuit(6\diamondsuit x)

Solución:

Como

a\diamondsuit a=1

, sustituir

b=c

en

a\diamondsuit(b\diamondsuit c)=(a\diamondsuit b)c

da

a\diamondsuit1=(a\diamondsuit b)b

. Además, usando

a\diamondsuit(a\diamondsuit a)=(a\diamondsuit a)a

obtenemos

a\diamondsuit1=a

. Por lo tanto

a\diamondsuit b=\frac ab

.

Así, la ecuación se convierte en

\begin{aligned} 2016\diamondsuit(6\diamondsuit x) &= 2016\diamondsuit\frac6x \\ &= \frac{2016}{\frac{6}{x}} \\ &= 336x \\ &= 100. \end{aligned}

Así que

x=\frac{25}{84}

,

p+q=25+84=109

.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since

a\diamondsuit a=1

, substituting

b=c

in

a\diamondsuit(b\diamondsuit c)=(a\diamondsuit b)c

gives

a\diamondsuit1=(a\diamondsuit b)b

. Also, using

a\diamondsuit(a\diamondsuit a)=(a\diamondsuit a)a

gives

a\diamondsuit1=a

. Therefore

a\diamondsuit b=\frac ab

.

The equation becomes

\begin{aligned} 2016\diamondsuit(6\diamondsuit x) &= 2016\diamondsuit\frac6x \\ &= \frac{2016}{\frac{6}{x}} \\ &= 336x \\ &= 100. \end{aligned}

Thus

x=\frac{25}{84}

, so

p+q=25+84=109

.

Thus, the correct answer is A.

2016 AMC 10A Problema 23

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años