Question

¿Cuántos triángulos con área positiva tienen todos sus vértices en puntos $(i,j)$ del plano coordenado, donde $i$ y $j$ son enteros entre $1$ y $5,$ inclusive?

How many triangles with positive area have all their vertices at points $(i,j)$ in the coordinate plane, where $i$ and $j$ are integers between $1$ and $5,$ inclusive?

$2128$

$2148$

$2160$

$2200$

$2300$

Solución:

Podemos usar conteo complementario para hallar el número total de triángulos y restar los que no sirven.

Hay un total de $5^2 = 25$ puntos, así que hay $\binom{25}{3} = 2300$ triángulos posibles.

Observa que la única forma de que un triángulo no sirva es que los $3$ puntos estén en línea recta.

Hay $5$ filas, $5$ columnas y $2$ diagonales largas. Cada una de estas $12$ rectas tiene $5$ puntos, lo que significa que aportan $12 \cdot \binom{5}{3} = 12 \cdot 10 = 120$ triángulos degenerados.

También están las rectas diagonales con $4$ puntos, como de $(0, 1)$ a $(4, 5).$ Hay $4$ de estas rectas, así que tienen $4 \cdot \binom{4}{3} = 4 \cdot 4 = 16$ triángulos degenerados.

De forma similar, hay $4$ rectas diagonales con $3$ puntos. Estas nos dan $4 \cdot 1 = 4$ triángulos extra que no sirven.

Ahora, tenemos que fijarnos en las rectas con pendientes $\dfrac{1}{2}, 2, -\dfrac{1}{2},$ y $-2.$

Hay $3$ de estas rectas por cada pendiente, y todas tienen $3$ puntos. Por lo tanto, aportan $4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$ triángulos más a descontar.

El número total de triángulos que sirven es entonces $2300 - 120 - 16 - 4 - 12$ $= 2148.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can use complementary counting to find the total number of triangles and subtract out the ones that don't work.

There are a total of $5^2 = 25$ points, so there are $\binom{25}{3} = 2300$ possible triangles.

Note that the only way a triangle doesn't work is if all the $3$ points are in a straight line.

There are $5$ rows, $5$ columns, and $2$ long diagonals. Each of these $12$ lines have $5$ points, which means they contribute $12 \cdot \binom{5}{3} = 12 \cdot 10 = 120$ degenerate triangles.

There are also the diagonal lines with $4$ points, such as $(0, 1)$ to $(4, 5).$ There are $4$ of these lines, so they have $4 \cdot \binom{4}{3} = 4 \cdot 4 = 16$ degenerate triangles.

Similarly, there are $4$ diagonal lines with $3$ points. These give us $4 \cdot 1 = 4$ extra triangles that don't work.

Now, we have to look at the lines with slopes of $\dfrac{1}{2}, 2, -\dfrac{1}{2},$ and $-2.$

There are $3$ such lines for each slope, and they all have $3$ points on them. Therefore, they contribute $4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$ more triangles to discount.

The total number of working triangles is then $2300 - 120 - 16 - 4 - 12$ $= 2148.$ Thus, B is the correct answer.

2017 AMC 10A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años