Question

Se deben elegir dos subconjuntos del conjunto $S = \{a, b, c, d, e\}$ de modo que su unión sea $S$ y su intersección contenga exactamente dos elementos. ¿De cuántas maneras puede hacerse esto, suponiendo que el orden en que se eligen los subconjuntos no importa?

Two subsets of the set $S = \{a, b, c, d, e\}$ are to be chosen so that their union is $S$ and their intersection contains exactly two elements. In how many ways can this be done, assuming that the order in which the subsets are chosen does not matter?

$20$

$40$

$60$

$160$

$320$

Solución:

Elige los dos elementos comunes de $\binom{5}{2} = 10$ maneras.

Cada uno de los $3$ elementos restantes debe estar en exactamente un subconjunto, lo que da $2^3 = 8$ asignaciones, para $80$ pares ordenados.

Como el orden de los dos subconjuntos no importa, divide entre $2$ para obtener $\dfrac{80}{2} = 40.$

Así, la respuesta correcta es B.

Choose the two common elements in $\binom{5}{2} = 10$ ways.

Each of the remaining $3$ elements must lie in exactly one subset, giving $2^3 = 8$ assignments, for $80$ ordered pairs.

Since the order of the two subsets does not matter, divide by $2$ to get $\dfrac{80}{2} = 40.$

Thus, the correct answer is B.

2008 AMC 10A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años