Question

¿Cuál es la cifra de las centenas de $2011^{2011}$ ?

What is the hundreds digit of $2011^{2011}?$

$1$

$4$

$5$

$6$

$9$

Solución:

Como $2011\equiv11\pmod{1000}$ , basta con hallar $11^{2011}=(10+1)^{2011}$ módulo $1000$ .

Todos los términos con $10^3$ o superior son divisibles por $1000$ , así que solo importan los primeros tres términos: $1+2011\cdot10+\binom{2011}{2}10^2.$

Módulo $1000$ , esto es $\begin{aligned} &1+11\cdot10+\dfrac{2011\cdot2010}{2}\cdot100 \\ &\quad \equiv1+110+500=611 \end{aligned}$ .

Por lo tanto, la cifra de las centenas es $6$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because $2011\equiv11\pmod{1000}$ , it is enough to find $11^{2011}=(10+1)^{2011}$ modulo $1000$ .

All terms with $10^3$ or higher are divisible by $1000$ , so only the first three terms matter: $1+2011\cdot10+\binom{2011}{2}10^2.$

Modulo $1000$ , this is $\begin{aligned} &1+11\cdot10+\dfrac{2011\cdot2010}{2}\cdot100 \\ &\quad \equiv1+110+500=611 \end{aligned}$ .

The hundreds digit is therefore $6$ .

Thus, D is the correct answer.

2011 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años