Question

Los círculos $A,$ $B,$ y $C$ son tangentes exteriores entre sí y tangentes interiores al círculo $D.$ Los círculos $B$ y $C$ son congruentes. El círculo $A$ tiene radio $1$ y pasa por el centro de $D.$ ¿Cuál es el radio del círculo $B$ ?

Circles $A,$ $B,$ and $C$ are externally tangent to each other and internally tangent to circle $D.$ Circles $B$ and $C$ are congruent. Circle $A$ has radius $1$ and passes through the center of $D.$ What is the radius of circle $B?$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{7}{8}$

$\dfrac{8}{9}$

$\dfrac{1 + \sqrt{3}}{3}$

Solución:

Como el círculo $A$ pasa por el centro de $D$ y es tangente interior a $D,$ el círculo $D$ tiene radio $2.$ Coloca el centro de $D$ en el origen y el centro de $A$ en $(-1, 0).$

Sea el círculo $B$ de radio $r$ y centro $(x, r),$ usando la simetría de $B$ y $C$ respecto al eje horizontal. La tangencia da $\begin{aligned} (x + 1)^2 + r^2 &= (1 + r)^2, \\ x^2 + r^2 &= (2 - r)^2. \end{aligned}$

Restando se obtiene $x = 3r - 2.$ Sustituyendo en la segunda ecuación da $9r^2 - 8r = 0,$ así que $r = \dfrac{8}{9}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because circle $A$ passes through $D$ 's center and is internally tangent to $D,$ circle $D$ has radius $2.$ Place $D$ 's center at the origin and $A$ 's center at $(-1, 0).$

Let circle $B$ have radius $r$ and center $(x, r),$ using the symmetry of $B$ and $C$ about the horizontal axis. Tangency gives $\begin{aligned} (x + 1)^2 + r^2 &= (1 + r)^2, \\ x^2 + r^2 &= (2 - r)^2. \end{aligned}$

Subtracting yields $x = 3r - 2.$ Substituting into the second equation gives $9r^2 - 8r = 0,$ so $r = \dfrac{8}{9}.$

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 10A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años