Question

Sea $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ una sucesión con las siguientes propiedades: $a_1 = 1,$ y $a_{2n} = n \cdot a_n$ para cualquier entero positivo $n.$ ¿Cuál es el valor de $a_{2^{100}}$ ?

Let $a_1,$ $a_2,$ $\ldots$ be a sequence with the following properties: $a_1 = 1,$ and $a_{2n} = n \cdot a_n$ for any positive integer $n.$ What is the value of $a_{2^{100}}?$

$1$

$2^{99}$

$2^{100}$

$2^{4950}$

$2^{9999}$

Solución:

Aplicando la regla repetidamente, $\begin{aligned} a_{2^1} &= 2^0, \\ a_{2^2} &= 2^1, \\ a_{2^3} &= 2^{1+2}, \\ a_{2^4} &= 2^{1+2+3}, \ldots \end{aligned}$ así que en general $a_{2^n} = 2^{1 + 2 + \cdots + (n - 1)} = 2^{n(n-1)/2}.$

Para $n = 100,$ el exponente es $\dfrac{100 \cdot 99}{2} = 4950,$ así que $a_{2^{100}} = 2^{4950}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Applying the rule repeatedly, $\begin{aligned} a_{2^1} &= 2^0, \\ a_{2^2} &= 2^1, \\ a_{2^3} &= 2^{1+2}, \\ a_{2^4} &= 2^{1+2+3}, \ldots \end{aligned}$ so in general $a_{2^n} = 2^{1 + 2 + \cdots + (n - 1)} = 2^{n(n-1)/2}.$

For $n = 100,$ the exponent is $\dfrac{100 \cdot 99}{2} = 4950,$ so $a_{2^{100}} = 2^{4950}.$

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 10A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años