Question

Los centros de caras adyacentes de un cubo unitario se unen para formar un octaedro regular. ¿Cuál es el volumen de este octaedro?

Centers of adjacent faces of a unit cube are joined to form a regular octahedron. What is the volume of this octahedron?

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Solución:

Los seis centros de caras forman un octaedro regular, visto como dos pirámides cuadrangulares congruentes que comparten una base. Los centros de caras adyacentes están a $\frac{\sqrt2}{2}$ de distancia, así que la base cuadrada tiene área $\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 = \frac12.$

Cada pirámide tiene altura $\frac12,$ así que su volumen es $\frac13 \cdot \frac12 \cdot \frac12 = \frac{1}{12}.$ El octaedro tiene volumen $2 \cdot \frac{1}{12} = \frac16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The six face centers form a regular octahedron, viewed as two congruent square pyramids sharing a base. Adjacent face centers are $\frac{\sqrt2}{2}$ apart, so the square base has area $\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 = \frac12.$

Each pyramid has height $\frac12,$ so its volume is $\frac13 \cdot \frac12 \cdot \frac12 = \frac{1}{12}.$ The octahedron has volume $2 \cdot \frac{1}{12} = \frac16.$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 10A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años