Question

Amy, Beth y Jo escuchan cuatro canciones diferentes y comentan cuáles les gustan. Ninguna canción les gusta a las tres. Además, para cada uno de los tres pares de chicas, hay al menos una canción que les gusta a esas dos pero no a la tercera. ¿De cuántas maneras diferentes es esto posible?

Amy, Beth, and Jo listen to four different songs and discuss which ones they like. No song is liked by all three. Furthermore, for each of the three pairs of the girls, there is at least one song liked by those two girls but disliked by the third. In how many different ways is this possible?

$108$

$132$

$671$

$846$

$1105$

Solución:

Hay dos casos: cada par comparte exactamente una canción que les gusta, o algún par comparte $2$ canciones que les gustan. Esto se debe a que cada par debe compartir al menos $1$ canción, y cualquier coincidencia adicional a las de estos casos requeriría $5$ canciones.

Caso 1: Cada par tiene exactamente una canción que les gusta en común

Hay $4$ formas de elegir la canción que le gusta a un par, $3$ formas de elegir la del segundo par y $2$ formas de elegir la del tercer par si fijamos algún orden para ellos. Luego, para la última canción, a uno de ellos podría gustarle, lo que da $3$ casos, o a ninguno le gusta, que es otro caso. Así, el número de soluciones en este caso es $4\cdot 3\cdot 2\cdot (3+1)=96.$

Caso 2: Algún par tiene $2$ canciones que les gustan en común

Hay $3$ formas de elegir el par que comparte $2$ canciones que les gustan. Luego hay $\binom 42 = 6$ formas de elegir cuáles dos canciones les gustan. Finalmente, hay $2! =2$ formas de asignar las dos canciones restantes a los otros dos pares. Así, el número de soluciones en este caso es $3\cdot 6\cdot 2=36$

Entonces el total es $96+36 = 132$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are two cases: Each pair has exactly one liked song in common, or some pair has $2$ liked songs in common. This is because each pair must have at least $1$ liked song in common, and any more pairs than in the cases would result in $5$ songs.

Case 1: Each pair has exactly one liked song in common

There are $4$ ways to choose the song that one pair likes, $3$ ways to choose the song that the second pair likes, and $2$ ways to choose the song the third pair likes if we choose some order for them. Then, for the last song, one of them could like it which has $3$ cases or none of them likes it which is another case. Thus, the number of solutions in this case is $4\cdot 3\cdot 2\cdot (3+1)=96.$

Case 2: Some pair has $2$ liked songs in common

There are $3$ ways to choose the pair that has $2$ liked songs in common. Then, there are $\binom 42 = 6$ ways to choose which two songs they like. Finally, there are $2! =2$ ways to assign the two remaining songs to the other two pairs. Thus, the number of solutions in this case is $3\cdot 6\cdot 2=36$

The total amount is then $96+36 = 132.$

Thus, the correct answer is B .

2012 AMC 10B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años