Question

¿Cuál es el perímetro de la frontera de la región formada por todos los puntos que pueden expresarse como $(2u - 3w,\ v + 4w)$ con $0 \le u \le 1,$ $0 \le v \le 1,$ y $0 \le w \le 1$ ?

What is the perimeter of the boundary of the region consisting of all points which can be expressed as $(2u - 3w,\ v + 4w)$ with $0 \le u \le 1,$ $0 \le v \le 1,$ and $0 \le w \le 1?$

$10\sqrt{3}$

$13$

$12$

$18$

$16$

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica vector perímetro

Nivel de dificultad: 2470

Pista pequeña:

Al fijar $w,$ el par $(u, v)$ barre un rectángulo $2 \times 1$ ; variar $w$ lo desliza a lo largo de $(-3, 4)$ .

Fixing $w,$ the pair $(u, v)$ sweeps a $2 \times 1$ rectangle; varying $w$ slides it along $(-3, 4)$

Pista grande:

La frontera es un hexágono cuyos lados opuestos miden $2, 1,$ y $\sqrt{(-3)^2+4^2}$ .

The boundary is a hexagon with opposite side lengths $2, 1,$ and $\sqrt{(-3)^2+4^2}$

Solución:

Fija $w.$ Cuando $u, v$ barren $[0, 1]^2,$ el punto $(2u - 3w,\ v + 4w)$ llena un rectángulo $2 \times 1$ alineado con los ejes, con esquina inferior izquierda $(-3w, 4w).$ Cuando $w$ va de $0$ a $1,$ este rectángulo se desliza a lo largo del vector $(-3,4),$ cuya longitud es $5.$ La región barrida es un hexágono con simetría central. Sus pares de lados opuestos miden $2, 1,$ y $5,$ heredados de los dos lados del rectángulo y del segmento de deslizamiento. Por lo tanto, su perímetro es $2(2+1+5)=16.$ Por lo tanto, la respuesta es E.

Fix $w.$ As $u, v$ sweep $[0, 1]^2,$ the point $(2u - 3w,\ v + 4w)$ fills a $2 \times 1$ axis-aligned rectangle with lower-left corner $(-3w, 4w).$ As $w$ runs from $0$ to $1,$ this rectangle slides along the vector $(-3,4),$ whose length is $5.$ The swept region is a centrally symmetric hexagon. Its opposite pairs of sides have lengths $2, 1,$ and $5,$ inherited from the two sides of the rectangle and the sliding segment. Therefore its perimeter is $2(2+1+5)=16.$ Therefore, the answer is E.

2023 AMC 10B Problema 24

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2470

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años