Question

¿Cuál es el perímetro de la frontera de la región formada por todos los puntos que pueden expresarse como $(2u - 3w,\ v + 4w)$ con $0 \le u \le 1,$ $0 \le v \le 1,$ y $0 \le w \le 1$ ?

What is the perimeter of the boundary of the region consisting of all points which can be expressed as $(2u - 3w,\ v + 4w)$ with $0 \le u \le 1,$ $0 \le v \le 1,$ and $0 \le w \le 1?$

$10\sqrt{3}$

$10$

$12$

$18$

$16$

Solución:

Fija $w.$ Cuando $u, v$ barren $[0, 1]^2,$ el punto $(2u - 3w,\ v + 4w)$ llena un rectángulo $2 \times 1$ alineado con los ejes, con esquina inferior izquierda $(-3w, 4w).$ Ahora deja que $w$ vaya de $0$ a $1.$ El rectángulo se desliza a lo largo del vector $(-3, 4),$ que tiene longitud $5.$ Así que la región es la suma de Minkowski de ese rectángulo y el segmento, y su perímetro es el perímetro del rectángulo más el doble de la longitud del segmento: $2(2 + 1) + 2 \cdot 5 = 16.$ Por lo tanto, la respuesta es E.

Fix $w.$ As $u, v$ sweep $[0, 1]^2,$ the point $(2u - 3w,\ v + 4w)$ fills a $2 \times 1$ axis-aligned rectangle with lower-left corner $(-3w, 4w).$ Now let $w$ run from $0$ to $1.$ The rectangle slides along the vector $(-3, 4),$ which has length $5.$ So the region is the Minkowski sum of that rectangle and the segment, and its perimeter is the rectangle's perimeter plus twice the segment length: $2(2 + 1) + 2 \cdot 5 = 16.$ Therefore, the answer is E.

2023 AMC 10B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años