Question

La hormiga Aaron camina sobre el plano coordenado según las siguientes reglas.

Empieza en el origen $p_0=(0,0)$ mirando hacia el este y camina una unidad, llegando a $p_1=(1,0).$

Para $n=1,2,3,\dots,$ justo después de llegar al punto $p_n,$ si Aaron puede girar $90^\circ$ a la izquierda y caminar una unidad hasta un punto no visitado $p_{n+1},$ lo hace. De lo contrario, camina una unidad hacia adelante para llegar a $p_{n+1}.$ Así la sucesión de puntos continúa $p_2=(1,1),$ $p_3=(0,1),$ $p_4=(-1,1),$ $p_5=(-1,0),$ $\vdots$ y así sucesivamente en un patrón de espiral en sentido antihorario. ¿Cuánto vale $p_{2015}$ ?

Aaron the ant walks on the coordinate plane according to the following rules.

He starts at the origin $p_0=(0,0)$ facing to the east and walks one unit, arriving at $p_1=(1,0).$

For $n=1,2,3,\dots,$ right after arriving at the point $p_n,$ if Aaron can turn $90^\circ$ left and walk one unit to an unvisited point $p_{n+1},$ he does that. Otherwise, he walks one unit straight ahead to reach $p_{n+1}.$ Thus the sequence of points continues $p_2=(1,1),$ $p_3=(0,1),$ $p_4=(-1,1),$ $p_5=(-1,0),$ $\vdots$ and so on in a counterclockwise spiral pattern. What is $p_{2015}?$

$(-22,-13)$

$(-13,-22)$

$(-13,22)$

$(13,-22)$

$(22,-13)$

Solución:

Cuando Aaron llega a $(k,-k)$ , acaba de completar la espiral cuadrada que contiene todos los puntos de la cuadrícula con coordenadas entre $-k$ y $k$ . Por lo tanto $p_{(2k+1)^2-1}=(k,-k).$

Con $k=22$ , esto da $p_{2024}=(22,-22)$ . Como $2024-2015=9$ , retroceder por el borde inferior resta $9$ a la coordenada $x$ , así que $p_{2015}=(13,-22).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

When Aaron reaches $(k,-k)$ , he has just completed the square spiral containing all grid points with coordinates between $-k$ and $k$ . Therefore $p_{(2k+1)^2-1}=(k,-k).$

With $k=22$ , this gives $p_{2024}=(22,-22)$ . Since $2024-2015=9$ , stepping backward along the bottom edge subtracts $9$ from the $x$ -coordinate, so $p_{2015}=(13,-22).$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 10B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años