Question

Seis bloques hexagonales regulares de lado $1$ unidad se disponen dentro de un marco hexagonal regular. Cada bloque se apoya a lo largo de una arista interior del marco y está alineado con otros dos bloques, como se muestra en la figura de abajo. La distancia desde cualquier esquina del marco hasta el vértice más cercano de un bloque es $\frac{3}{7}$ unidad. ¿Cuál es el área de la región dentro del marco no ocupada por los bloques?

Six regular hexagonal blocks of side length $1$ unit are arranged inside a regular hexagonal frame. Each block lies along an inside edge of the frame and is aligned with two other blocks, as shown in the figure below. The distance from any corner of the frame to the nearest vertex of a block is $\frac{3}{7}$ unit. What is the area of the region inside the frame not occupied by the blocks?

$\dfrac{13\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{216\sqrt{3}}{49}$

$\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{14\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{243\sqrt{3}}{49}$

Solución:

La región descubierta es el área del marco menos los seis bloques unitarios. Un hexágono regular de lado $t$ tiene área $\tfrac{3\sqrt3}{2}t^2,$ así que cada bloque unitario es $\tfrac{3\sqrt3}{2}.$ La regla de espaciado, que cada esquina del marco queda a $\tfrac37$ del vértice de bloque más cercano, fija el lado del marco en $3.$ Así que el área descubierta es $\tfrac{3\sqrt3}{2}\cdot 3^2$ $- 6\cdot\tfrac{3\sqrt3}{2}$ $= \tfrac{27\sqrt3}{2} - 9\sqrt3$ $= \tfrac{9\sqrt{3}}{2}.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

The uncovered region is the frame's area minus the six unit blocks. A regular hexagon of side $t$ has area $\tfrac{3\sqrt3}{2}t^2,$ so each unit block is $\tfrac{3\sqrt3}{2}.$ The spacing rule, that each frame corner sits $\tfrac37$ from the nearest block vertex, pins the frame's side length at $3.$ So the uncovered area is $\tfrac{3\sqrt3}{2}\cdot 3^2$ $- 6\cdot\tfrac{3\sqrt3}{2}$ $= \tfrac{27\sqrt3}{2} - 9\sqrt3$ $= \tfrac{9\sqrt{3}}{2}.$ Therefore, the answer is C.

2023 AMC 10A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años