Question

El arco de clave es un elemento arquitectónico antiguo. Está compuesto por trapecios isósceles congruentes unidos a lo largo de los lados no paralelos, como se muestra. Los lados inferiores de los dos trapecios de los extremos son horizontales. En un arco hecho con $9$ trapecios, sea $x$ la medida en grados del ángulo interior mayor del trapecio. ¿Cuánto vale $x$ ?

The keystone arch is an ancient architectural feature. It is composed of congruent isosceles trapezoids fitted together along the non-parallel sides, as shown. The bottom sides of the two end trapezoids are horizontal. In an arch made with $9$ trapezoids, let $x$ be the angle measure in degrees of the larger interior angle of the trapezoid. What is $x?$

$100$

$102$

$104$

$106$

$108$

Solución:

Agregar una imagen especular completa el arco en un anillo cerrado simétrico de $18$ trapecios. Sus bordes interiores forman un $18$ -ágono regular, cuyo ángulo interior es $\dfrac{(18-2)\cdot180^\circ}{18}=160^\circ.$

En cada vértice interior, dos de los ángulos mayores $x$ de los trapecios se encuentran con el ángulo $160^\circ$ alrededor de un giro completo: $x+x+160^\circ=360^\circ,$ así que $x=100.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Adding a mirror image completes the arch into a symmetric closed loop of $18$ trapezoids. Their inner edges form a regular $18$ -gon, each interior angle of which is $\dfrac{(18-2)\cdot180^\circ}{18}=160^\circ.$

At each inner vertex, two of the trapezoids' larger angles $x$ meet the $160^\circ$ angle around a full turn: $x+x+160^\circ=360^\circ,$ so $x=100.$

Thus, the correct answer is A.

2009 AMC 10B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años