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2004 AMC 10B Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2004 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2004 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

En △ABC\triangle ABC tenemos AB=7,AB = 7, AC=8,AC = 8, y BC=9.BC = 9. El punto DD está en el círculo circunscrito del triángulo de modo que AD‾\overline{AD} biseca ∠BAC.\angle BAC. ¿Cuál es el valor de ADCD\frac{AD}{CD}?
In △ABC\triangle ABC we have AB=7,AB = 7, AC=8,AC = 8, and BC=9.BC = 9. Point DD is on the circumscribed circle of the triangle so that AD‾\overline{AD} bisects ∠BAC.\angle BAC. What is the value of ADCD?\frac{AD}{CD}?
98\dfrac{9}{8}
53\dfrac{5}{3}
22
177\dfrac{17}{7}
52\dfrac{5}{2}
Respuesta: B
Conceptos:ángulo inscritosemejanzateorema de la bisectriz
Nivel de dificultad: 2030
Pista pequeña:
Sea EE el punto donde AD‾\overline{AD} corta a BC‾;\overline{BC}; los ángulos inscritos dan ∠ABE=∠ADC\angle ABE = \angle ADC.
Let AD‾\overline{AD} meet BC‾\overline{BC} at E;E; inscribed angles give ∠ABE=∠ADC\angle ABE = \angle ADC
Pista grande:
Los triángulos ABEABE y ADCADC son semejantes, así que ADCD=ABBE;\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BE}; halla BEBE con el teorema de la bisectriz.
Triangles ABEABE and ADCADC are similar, so ADCD=ABBE;\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{BE}; find BEBE from the Angle Bisector Theorem
Solución:
Sea EE el punto donde AD‾\overline{AD} corta a BC‾.\overline{BC}. Como ∠ABC\angle ABC y ∠ADC\angle ADC subtienden el mismo arco, son iguales, y ∠EAB=∠CAD,\angle EAB = \angle CAD, así que △ABE∼△ADC.\triangle ABE \sim \triangle ADC.
Por lo tanto ADCD=ABBE.\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{AB}{BE}.
Por el teorema de la bisectriz, BEEC=ABAC,\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{AC}, así que BE=AB⋅BCAB+AC=7⋅915.BE = \dfrac{AB \cdot BC}{AB + AC} = \dfrac{7 \cdot 9}{15}.
Por lo tanto ADCD=ABBE=AB+ACBC=159=53. \begin{aligned} \dfrac{AD}{CD} &= \dfrac{AB}{BE} = \dfrac{AB + AC}{BC} \\ &= \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let AD‾\overline{AD} meet BC‾\overline{BC} at E.E. Since ∠ABC\angle ABC and ∠ADC\angle ADC subtend the same arc, they are equal, and ∠EAB=∠CAD,\angle EAB = \angle CAD, so △ABE∼△ADC.\triangle ABE \sim \triangle ADC.
Hence ADCD=ABBE.\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{AB}{BE}.
By the Angle Bisector Theorem, BEEC=ABAC,\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{AC}, so BE=AB⋅BCAB+AC=7⋅915.BE = \dfrac{AB \cdot BC}{AB + AC} = \dfrac{7 \cdot 9}{15}.
Therefore ADCD=ABBE=AB+ACBC=159=53. \begin{aligned} \dfrac{AD}{CD} &= \dfrac{AB}{BE} = \dfrac{AB + AC}{BC} \\ &= \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}. \end{aligned}
Thus, the correct answer is B.
Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

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