Question

Central High School compite contra Northern High School en un torneo de backgammon. Cada escuela tiene tres jugadores, y las reglas del torneo exigen que cada jugador juegue dos partidas contra cada uno de los jugadores de la otra escuela. El torneo se desarrolla en seis rondas, con tres partidas jugadas simultáneamente en cada ronda. ¿De cuántas maneras diferentes se puede programar el torneo?

Central High School is competing against Northern High School in a backgammon match. Each school has three players, and the contest rules require that each player play two games against each of the other school's players. The match takes place in six rounds, with three games played simultaneously in each round. In how many different ways can the match be scheduled?

$540$

$600$

$720$

$810$

$900$

Solución:

Etiqueta a los jugadores de Central como $A,B,C$ y a los de Northern como $X,Y,Z$ .

La cadena de oponentes de seis rondas del jugador $A$ contiene dos de cada $X,Y,Z$ , así que se puede elegir de $\frac{6!}{2!2!2!}=90$ maneras.

Para una cadena de $A$ fija, digamos $XXYYZZ$ , la cadena del jugador $B$ también debe contener dos de cada $X,Y,Z$ y no puede coincidir con el oponente de $A$ en ninguna posición.

Si las dos primeras entradas de $B$ son $Y,Z$ en cualquier orden, entonces las dos entradas centrales deben ser $X,Z$ en cualquier orden y las dos últimas deben ser $X,Y$ en cualquier orden, lo que da $2^3=8$ cadenas. Las dos posibilidades restantes son $YYZZXX$ y $ZZXXYY$ , para un total de $10$ cadenas de $B$ .

Una vez que $A$ y $B$ están programados, el calendario de $C$ queda forzado. Por lo tanto, hay $90\cdot10=900$ calendarios.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Label Central's players $A,B,C$ and Northern's players $X,Y,Z$ .

Player $A$ 's six-round opponent string contains two each of $X,Y,Z$ , so it can be chosen in $\frac{6!}{2!2!2!}=90$ ways.

For a fixed $A$ -string, say $XXYYZZ$ , player $B$ 's string must also contain two each of $X,Y,Z$ and cannot match $A$ 's opponent in any position.

If $B$ 's first two entries are $Y,Z$ in either order, then the middle two entries must be $X,Z$ in either order and the last two must be $X,Y$ in either order, giving $2^3=8$ strings. The two remaining possibilities are $YYZZXX$ and $ZZXXYY$ , for $10$ total $B$ -strings.

Once $A$ and $B$ are scheduled, $C$ 's schedule is forced. Hence there are $90\cdot10=900$ schedules.

Thus, E is the correct answer.

2013 AMC 10A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años