Question

Se trazan las $20$ diagonales de un octágono regular. ¿En cuántos puntos distintos del interior del octágono (no sobre la frontera) se cortan dos o más diagonales?

All $20$ diagonals are drawn in a regular octagon. At how many distinct points in the interior of the octagon (not on the boundary) do two or more diagonals intersect?

$49$

$65$

$70$

$96$

$128$

Solución:

Si no hubiera tres diagonales concurrentes, cada elección de $4$ vértices determinaría una intersección interior, dando $\binom84=70$ .

Las $4$ diagonales largas que pasan por vértices opuestos se cortan todas en el centro, así que el centro se contó $\binom42=6$ veces y debería contarse una vez. Resta $5$ .

También hay $8$ puntos simétricos donde se cortan $3$ diagonales. Cada uno se contó $\binom32=3$ veces y debería contarse una vez, así que resta $8(3-1)=16$ .

El número de puntos de intersección interiores distintos es $70-5-16=49$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

If no three diagonals were concurrent, each choice of $4$ vertices would determine one interior intersection, giving $\binom84=70$ .

The $4$ long diagonals through opposite vertices all meet at the center, so the center was counted $\binom42=6$ times and should be counted once. Subtract $5$ .

There are also $8$ symmetric points where $3$ diagonals meet. Each was counted $\binom32=3$ times and should be counted once, so subtract $8(3-1)=16$ .

The number of distinct interior intersection points is $70-5-16=49$ .

Thus, A is the correct answer.

2013 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años