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2025 AMC 10A Problema 25

Intenta el Problema 25 del 2025 AMC 10A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2025 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Se elige al azar un punto PP dentro del cuadrado ABCD.ABCD. La probabilidad de que APAP no sea ni el lado más corto ni el más largo de △APB\triangle APB se puede escribir como a+bπ−cde,\dfrac{a + b\pi - c\sqrt{d}}{e}, donde a,a, b,b, c,c, d,d, y ee son enteros positivos, gcd⁡(a,b,c,e)=1,\gcd(a, b, c, e) = 1, y dd no es divisible por el cuadrado de un primo. ¿Cuánto vale a+b+c+d+ea + b + c + d + e?
A point PP is chosen at random inside square ABCD.ABCD. The probability that APAP is neither the shortest nor the longest side of △APB\triangle APB can be written as a+bπ−cde,\dfrac{a + b\pi - c\sqrt{d}}{e}, where a,a, b,b, c,c, d,d, and ee are positive integers, gcd⁡(a,b,c,e)=1,\gcd(a, b, c, e) = 1, and dd is not divisible by the square of a prime. What is a+b+c+d+e?a + b + c + d + e?
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Respuesta: A
Conceptos:probabilidad geométricasector circulartriángulo equilátero
Nivel de dificultad: 2600
Pista pequeña:
Toma A=(0,0),B=(1,0);A = (0,0), B = (1,0); APAP es la longitud intermedia cuando BP<AP<ABBP \lt AP \lt AB o AB<AP<BPAB \lt AP \lt BP.
Set A=(0,0),B=(1,0);A = (0,0), B = (1,0); APAP is the middle length when either BP<AP<ABBP \lt AP \lt AB or AB<AP<BPAB \lt AP \lt BP
Pista grande:
Las fronteras son el círculo AP=1AP = 1 (centrado en AA) y la recta vertical AP=BP;AP = BP; usa el sector de 60∘60^\circ donde △ABS\triangle ABS es equilátero.
The boundaries are the circle AP=1AP = 1 (about AA) and the vertical line AP=BP;AP = BP; use the 60∘60^\circ sector where △ABS\triangle ABS is equilateral
Solución:
Coloca A=(0,0)A = (0,0) y B=(1,0)B = (1,0) en el cuadrado unitario. APAP es la longitud intermedia cuando BP<AP<ABBP \lt AP \lt AB o AB<AP<BP.AB \lt AP \lt BP. Estas regiones están limitadas por el círculo centrado en AA de radio 11 (donde AP=ABAP = AB) y la recta x=12x = \tfrac12 (donde AP=BPAP = BP). Sea SS donde el círculo corta a x=12.x = \tfrac12. Entonces △ABS\triangle ABS es equilátero, así que ∠BAS=60∘.\angle BAS = 60^\circ. La región más grande tiene área 4π−3324\frac{4\pi - 3\sqrt3}{24} y la más pequeña tiene área 12−2π−3324.\frac{12 - 2\pi - 3\sqrt3}{24}. Sumadas dan 6+π−3312.\frac{6 + \pi - 3\sqrt3}{12}. Así a+b+c+d+ea + b + c + d + e =6+1+3+3+12= 6 + 1 + 3 + 3 + 12 =25.= 25. Por lo tanto, A es la respuesta correcta.
Place A=(0,0)A = (0,0) and B=(1,0)B = (1,0) on the unit square. APAP is the middle length when BP<AP<ABBP \lt AP \lt AB or AB<AP<BP.AB \lt AP \lt BP. These regions are bounded by the circle centered at AA with radius 11 (where AP=ABAP = AB) and the line x=12x = \tfrac12 (where AP=BPAP = BP). Let SS be where the circle meets x=12.x = \tfrac12. Then △ABS\triangle ABS is equilateral, so ∠BAS=60∘.\angle BAS = 60^\circ. The larger region has area 4π−3324\frac{4\pi - 3\sqrt3}{24} and the smaller has area 12−2π−3324.\frac{12 - 2\pi - 3\sqrt3}{24}. They add to 6+π−3312.\frac{6 + \pi - 3\sqrt3}{12}. Thus a+b+c+d+ea + b + c + d + e =6+1+3+3+12= 6 + 1 + 3 + 3 + 12 =25.= 25. Thus, A is the correct answer.
Problema 24#24
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