Question

Se elige al azar un punto $P$ dentro del cuadrado $ABCD.$ La probabilidad de que $AP$ no sea ni el lado más corto ni el más largo de $\triangle APB$ se puede escribir como $\dfrac{a + b\pi - c\sqrt{d}}{e},$ donde $a, b, c, d,$ y $e$ son enteros positivos, $\gcd(a, b, c, e) = 1,$ y $d$ no es divisible por el cuadrado de un primo. ¿Cuánto vale $a + b + c + d + e$ ?

A point $P$ is chosen at random inside square $ABCD.$ The probability that $AP$ is neither the shortest nor the longest side of $\triangle APB$ can be written as $\dfrac{a + b\pi - c\sqrt{d}}{e},$ where $a, b, c, d,$ and $e$ are positive integers, $\gcd(a, b, c, e) = 1,$ and $d$ is not divisible by the square of a prime. What is $a + b + c + d + e?$

$25$

$26$

$27$

$28$

$29$

Solución:

Coloca $A = (0,0)$ y $B = (1,0)$ en el cuadrado unitario. $AP$ es la longitud intermedia cuando $BP \lt AP \lt AB$ o $AB \lt AP \lt BP$ . Estas regiones están limitadas por el círculo centrado en $A$ de radio $1$ (donde $AP = AB$ ) y la recta $x = \tfrac12$ (donde $AP = BP$ ). Sea $S$ donde el círculo corta a $x = \tfrac12$ . Entonces $\triangle ABS$ es equilátero, así que $\angle BAS = 60^\circ$ . La región más grande tiene área $\frac{4\pi - 3\sqrt3}{24}$ y la más pequeña tiene área $\frac{12 - 2\pi - 3\sqrt3}{24}$ . Sumadas dan $\frac{6 + \pi - 3\sqrt3}{12}$ . Así $a + b + c + d + e$ $= 6 + 1 + 3 + 3 + 12$ $= 25$ . Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Place $A = (0,0)$ and $B = (1,0)$ on the unit square. $AP$ is the middle length when $BP \lt AP \lt AB$ or $AB \lt AP \lt BP$ . These regions are bounded by the circle centered at $A$ with radius $1$ (where $AP = AB$ ) and the line $x = \tfrac12$ (where $AP = BP$ ). Let $S$ be where the circle meets $x = \tfrac12$ . Then $\triangle ABS$ is equilateral, so $\angle BAS = 60^\circ$ . The larger region has area $\frac{4\pi - 3\sqrt3}{24}$ and the smaller has area $\frac{12 - 2\pi - 3\sqrt3}{24}$ . They add to $\frac{6 + \pi - 3\sqrt3}{12}$ . Thus $a + b + c + d + e$ $= 6 + 1 + 3 + 3 + 12$ $= 25$ . Thus, A is the correct answer.

2025 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años