Question

¿De cuántas maneras se pueden colocar $3$ fichas rojas indistinguibles, $3$ fichas azules indistinguibles y $3$ fichas verdes indistinguibles en las casillas de una cuadrícula de $3 \times 3$ de modo que no haya dos fichas del mismo color directamente adyacentes entre sí, ya sea vertical u horizontalmente?

How many ways are there to place $3$ indistinguishable red chips, $3$ indistinguishable blue chips, and $3$ indistinguishable green chips in the squares of a $3 \times 3$ grid so that no two chips of the same color are directly adjacent to each other, either vertically or horizontally?

$12$

$18$

$24$

$30$

$36$

Respuesta: E

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Primero elige el color del centro y las dos esquinas que ocupa ese color.

First choose the color in the center and the two corners occupied by that color

Pista grande:

Una vez colocadas esas tres fichas, los otros dos colores quedan determinados salvo intercambio.

Once those three chips are placed, the other two colors are forced up to interchange

Solución:

Elige el color del centro de $3$ maneras. Sus otras dos fichas no pueden ocupar ninguna casilla central de un lado, porque esas casillas son adyacentes al centro. Por lo tanto, deben ocupar dos de las cuatro esquinas, lo que puede hacerse de $\binom42=6$ maneras.

Para cualquiera de los dos patrones posibles de esquinas —dos esquinas opuestas o dos esquinas de un mismo lado—, las condiciones de adyacencia determinan los dos colores restantes salvo el intercambio entre ellos. Por lo tanto, hay $2$ formas de completar la cuadrícula para cada elección del color central y de sus dos esquinas. El total es $3\binom42\cdot2=36.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Choose the center color in $3$ ways. Its other two chips cannot occupy any edge-middle square, because those squares are adjacent to the center. Thus they must occupy two of the four corners, which can be chosen in $\binom42=6$ ways.

For either possible corner pattern—two opposite corners or two corners on the same side—the adjacency conditions force the remaining two colors up to interchanging them. Hence there are $2$ completions for each choice of the center color and its two corners. The total is $3\binom42\cdot2=36.$

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años