Question

El señor Jones tiene ocho hijos de edades distintas. En un viaje familiar, su hija mayor, que tiene $9,$ ve una placa con un número de $4$ cifras en el que cada uno de dos dígitos aparece dos veces. «¡Mira, papá! ¡Ese número es divisible exactamente por la edad de cada uno de nosotros!», exclama. «Así es», responde el señor Jones, «y las dos últimas cifras resultan ser justo mi edad». ¿Cuál de las siguientes no es la edad de uno de los hijos del señor Jones?

Mr. Jones has eight children of different ages. On a family trip his oldest child, who is $9,$ spots a license plate with a $4$ -digit number in which each of two digits appears two times. "Look, daddy!" she exclaims. "That number is evenly divisible by the age of each of us kids!" "That's right," replies Mr. Jones, "and the last two digits just happen to be my age." Which of the following is not the age of one of Mr. Jones's children?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Solución:

Como un hijo tiene $9,$ el número es divisible por $9,$ así que su suma de cifras $2(a+b)$ es un múltiplo de $9,$ lo que fuerza $a+b=9.$

También hay un hijo de $4$ u $8$ años, así que el número es divisible por $4.$ Entre los números con dos dígitos repetidos que suman $9$ y son divisibles por $4,$ el número $5544$ es divisible por $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8,$ y $9,$ pero no por $5.$

Así que las ocho edades pueden ser $\{1,2,3,4,6,7,8,9\},$ y $5$ no tiene por qué estar entre ellas. La edad que no es necesariamente la de un hijo es $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since a child is $9,$ the number is divisible by $9,$ so its digit sum $2(a+b)$ is a multiple of $9,$ which forces $a+b=9.$

There is also a $4$ - or $8$ -year-old, so the number is divisible by $4.$ Among numbers with two repeated digits summing to $9$ and divisible by $4,$ the number $5544$ is divisible by $1, 2, 3, 4, 6, 7, 8,$ and $9,$ but not by $5.$

So the eight ages can be $\{1,2,3,4,6,7,8,9\},$ and $5$ need not be among them. The age that is not necessarily a child's age is $5.$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 10B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años