Question

Para $k \gt 0,$ sea $I_k = 10\ldots064,$ donde hay $k$ ceros entre el $1$ y el $6.$ Sea $N(k)$ el número de factores $2$ en la factorización en primos de $I_k.$ ¿Cuál es el valor máximo de $N(k)$ ?

For $k \gt 0,$ let $I_k = 10\ldots064,$ where there are $k$ zeros between the $1$ and the $6.$ Let $N(k)$ be the number of factors of $2$ in the prime factorization of $I_k.$ What is the maximum value of $N(k)?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Solución:

Escribe $\begin{aligned} I_k &= 10^{k+2} + 64 \\ &= 2^{k+2} \cdot 5^{k+2} + 2^6. \end{aligned}$

Si $k \lt 4,$ el primer término tiene menos de $6$ factores $2,$ así que $N(k) = k + 2 \lt 6.$

Si $k \gt 4,$ el primer término tiene al menos $7$ factores $2$ mientras que el segundo tiene exactamente $6,$ así que su suma tiene exactamente $6:$ $N(k) = 6.$

Si $k = 4,$ entonces $I_4 = 2^6(5^6 + 1).$ Como $5^6 + 1$ $= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)$ $= 26 \cdot 601,$ aporta exactamente un factor $2$ más. Así que $N(4) = 7.$

El valor máximo es $N(4) = 7.$

Así, la respuesta correcta es B.

Write $\begin{aligned} I_k &= 10^{k+2} + 64 \\ &= 2^{k+2} \cdot 5^{k+2} + 2^6. \end{aligned}$

If $k \lt 4,$ the first term has fewer than $6$ factors of $2,$ so $N(k) = k + 2 \lt 6.$

If $k \gt 4,$ the first term has at least $7$ factors of $2$ while the second has exactly $6,$ so their sum has exactly $6:$ $N(k) = 6.$

If $k = 4,$ then $I_4 = 2^6(5^6 + 1).$ Since $5^6 + 1$ $= (5^2 + 1)\big((5^2)^2 - 5^2 + 1\big)$ $= 26 \cdot 601,$ it contributes exactly one more factor of $2.$ Thus $N(4) = 7.$

The maximum value is $N(4) = 7.$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años