Escalemos el cuadrado para que tenga lado
1, y escribamos
X=(u,v), donde
u y
v son sus distancias a los lados izquierdo e inferior. Cada vértice debe estar unido a
X; de lo contrario, alguna región que contenga ese vértice no sería un triángulo.
Cada uno de los
n triángulos tiene área
n1. Un triángulo cuya base está en el lado inferior tiene altura
v, por lo que su base mide
nv2. Así, el número de triángulos a lo largo del lado inferior es
2nv, que debe ser un entero positivo. Aplicando el mismo argumento a los cuatro lados, obtenemos que
2nu,2n(1−u),2nv,2n(1−v) son enteros positivos. Recíprocamente, cuando estos cuatro números son enteros, al subdividir cada lado en el número indicado de bases iguales y unir los puntos de división con
X, se producen los triángulos requeridos.
Para
n=100, esto dice que
u=50i y
v=50j, con
i,j∈{1,2,…,49}. Por tanto, los puntos
100-particionales forman una cuadrícula de
49×49. De manera similar, los puntos
60-particionales tienen coordenadas
u=30i y
v=30j, con
i,j∈{1,2,…,29}.Una coordenada pertenece a ambas cuadrículas exactamente cuando
50i=30j, o sea,
3i=5j. Las coordenadas comunes son entonces
101,102,…,109, lo que da una superposición de
9×9. El número pedido es
492−92=2401−81=2320.Por lo tanto, C es la respuesta correcta.
Scale the square to have side length
1, and write
X=(u,v), where
u and
v are its distances from the left and bottom sides. Every corner must be joined to
X; otherwise one of the regions containing that corner would not be a triangle.
Each of the
n triangles has area
n1. A triangle whose base lies on the bottom side has height
v, so its base has length
nv2. Therefore the number of triangles along the bottom side is
2nv, which must be a positive integer. Applying the same argument to all four sides shows that
2nu,2n(1−u),2nv,2n(1−v) are positive integers. Conversely, whenever these four numbers are integers, subdividing each side into the indicated number of equal bases and joining the division points to
X produces the required triangles.
For
n=100, this says
u=50i and
v=50j for
i,j∈{1,2,…,49}. Hence the
100-ray points form a
49×49 grid. Similarly, the
60-ray points have coordinates
u=30i and
v=30j with
i,j∈{1,2,…,29}.A coordinate belongs to both grids exactly when
50i=30j, or
3i=5j. Thus the common coordinates are
101,102,…,109, giving a
9×9 overlap. The requested number is
492−92=2401−81=2320.Thus, C is the correct answer.
