Question

Sea $R$ una región cuadrada y $n \geq 4$ un entero. Se dice que un punto $X$ en el interior de $R$ es n-particional por rayos si hay $n$ rayos que emanan de $X$ y dividen $R$ en $n$ triángulos de igual área. ¿Cuántos puntos son $100$ -particional por rayos pero no $60$ -particional por rayos?

Let $R$ be a square region and $n \geq 4$ an integer. A point $X$ in the interior of $R$ is called n-ray partitional if there are $n$ rays emanating from $X$ that divide $R$ into $n$ triangles of equal area. How many points are $100$ -ray partitional but not $60$ -ray partitional?

$1500$

$1560$

$2320$

$2480$

$2500$

Solución:

Primero encontremos todos los puntos que son $100$ -particional por rayos y $60$ -particional por rayos.

Primero, consideremos un punto $100$ -particional por rayos extremo. Sea este el punto en la esquina superior izquierda.

Nota que debemos trazar rayos a través de los vértices del cuadrado, ya que de lo contrario terminaríamos con regiones no triangulares.

Como este es el punto más alto y más a la izquierda, las áreas de la región triangular superior y de la región triangular izquierda deben ser mínimas.

Esto significa que no tienen ningún rayo que pase por ellas, lo que también significa que sus áreas deben ser iguales.

Entonces, la distancia del punto al lado superior y al lado izquierdo debe ser la misma. Ahora tenemos $96$ rayos para repartir entre las otras $2$ regiones.

Como las otras dos regiones también tienen la misma área, tendremos que poner $48$ rayos en cada región. Esto significa que esas dos regiones se dividen en $49$ regiones iguales.

Sea $x$ la distancia entre el punto y la parte superior del cuadrado. Entonces tenemos que $\dfrac{1 \cdot x}{2} = \dfrac{(1 - x) \cdot 1}{2} \cdot \dfrac{1}{49}.$

Simplificando obtenemos $49x = 1 - x$ $x = \dfrac{1}{50}.$ Ahora, si movemos el punto hacia la derecha al siguiente punto $100$ -particional, un rayo de la región derecha se traslada a la región izquierda.

Haciendo el mismo análisis de nuevo, obtenemos que el punto está a $\dfrac{2}{50}$ del lado izquierdo y a $\dfrac{1}{50}$ del lado superior.

Repitiendo este proceso, moviendo el punto a la derecha y hacia abajo, obtenemos que todos los puntos $100$ -particional forman una cuadrícula $49 \times 49$ , con cada punto a $\dfrac{1}{50}$ de los puntos adyacentes.

De manera similar, podemos encontrar que los puntos $60$ -particional forman una cuadrícula $29 \times 29$ donde los puntos están a $\dfrac{1}{30}$ de distancia.

Ahora debemos encontrar la superposición entre estas dos cuadrículas. Nota que el máximo común divisor de $60$ y $100$ es $10.$ Esto significa que todos los puntos que están en ambas cuadrículas forman a su vez otra cuadrícula que es $9 \times 9$ y con separación $\dfrac{1}{10}$ .

Esto significa que hay $9^2 = 81$ puntos que están en ambas cuadrículas. Entonces hay $49^2 - 81 = 2401 - 81 = 2320$ puntos que son $100$ -particional y no $60$ -particional.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let us first find all the points that are $100$ -ray and $60$ -ray partitional.

First, consider an extreme $100$ -ray partitional point. Let this be the point in the top-left corner.

Note that we must draw rays through the vertices of the square, since otherwise we will end up with non-triangular regions.

Since this is the topmost and leftmost point, we have that the areas of the top triangular region and the left triangle region must be minimized.

This means that they do not have any rays going through them, which also means that their areas must be the same.

Then we have that the distance from the point to the top and left side must be the same. We now have $96$ rays to split among the other $2$ regions.

Since the other two regions also have the same area, we will have to have $48$ rays in each region. This means that those two regions are split into $49$ equal regions.

Let $x$ be the distance between the point and the top of the square. We then have that $\dfrac{1 \cdot x}{2} = \dfrac{(1 - x) \cdot 1}{2} \cdot \dfrac{1}{49}.$

Simplifying gives $49x = 1 - x$ $x = \dfrac{1}{50}.$ Now, if we move the point right to the next $100$ -partitional point, we have that a ray from the right region gets moved to the left region.

Doing the same analysis again would tell us that the point is $\dfrac{2}{50}$ away from the left side and $\dfrac{1}{50}$ from the top side.

Repeating this process, moving the point right and down, gets us that all the $100$ -partitional points form a $49 \times 49$ grid, with each point $\dfrac{1}{50}$ away from adjacent points.

Similarly, we can find the $60$ -partitional points form a $29 \times 29$ grid where the points are $\dfrac{1}{30}$ apart.

We now have to find the overlap between these two grids. Note that the gcd of $60$ and $100$ is $10.$ This means that all the points that are on both grids themselves form another grid that is $9 \times 9$ and $\dfrac{1}{10}$ apart.

This means that there are $9^2 = 81$ points that are on both grids. Then there are $49^2 - 81 = 2401 - 81 = 2320$ points that are $100$ -partitional and not $60$ -partitional.

Thus, C is the correct answer.

2011 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años