Question

¿Cuántos enteros entre $100$ y $999,$ inclusive, tienen la propiedad de que alguna permutación de sus dígitos es un múltiplo de $11$ entre $100$ y $999$ ? Por ejemplo, tanto $121$ como $211$ tienen esta propiedad.

How many integers between $100$ and $999,$ inclusive, have the property that some permutation of its digits is a multiple of $11$ between $100$ and $999?$ For example, both $121$ and $211$ have this property.

$226$

$243$

$270$

$469$

$486$

Solución:

Podemos analizar todos los múltiplos de $11$ y ver cuántas permutaciones aporta cada uno. Podemos hacer esto según el número de dígitos distintos del número.

Caso $1:$ todos los dígitos son iguales

Esto no puede ocurrir. Lo vemos por la regla de divisibilidad para $11,$ que dice que la suma del primer y el último dígito menos el dígito del medio debe ser divisible por $11.$

Si todos los dígitos son iguales, entonces la expresión anterior es igual a ese dígito, que no puede ser divisible por $11.$

Caso $2:$ dos de los dígitos son iguales

Podemos dividir esto en los números que tienen el dígito $0$ y los que no.

Hay $8$ múltiplos de $11$ que no tienen el dígito $0:$ $121, 242, 363, 484, 616, 737, 858,$ y $979.$

Cada uno de estos números aporta $3$ permutaciones, así que este escenario tiene $8 \cdot 3 = 24$ números.

Hay $9$ múltiplos de $11$ que tienen el dígito $0:$ $110, 220, 330, 440, 550, 660, 770,$ $880,$ y $990.$

Para estos números, $0$ no puede ser el dígito de las centenas, así que cada uno solo aporta $2$ permutaciones, para un total de $9 \cdot 2 = 18.$

Caso $3:$ todos los dígitos son diferentes

Hay un total de $81$ múltiplos de $11$ entre $100$ y $999.$ El número de estos con todos los dígitos diferentes es $81 - 8 - 9 = 64.$ Como en el caso $2,$ tenemos que considerar de forma especial los números con $0$ como dígito. Hay $8:$ $209, 308, 407, 506, 605, 704, 803,$ y $902.$

Cada uno de estos nos da $2 \cdot 2 = 4$ permutaciones, pero contamos de más por un factor de $2$ ya que intercambiar el primer y el último dígito crea otro número que ya está en el conjunto.

Por lo tanto, estos números aportan un total de $8 \cdot 4 \div 2 = 16$ permutaciones únicas.

Ahora quedan $64 - 8 = 56$ múltiplos de $11$ que debemos contar.

Sabemos que cada uno de estos aporta $3! = 6$ permutaciones. Sin embargo, como antes, observa que intercambiar el primer y el último dígito de cualquier número de este conjunto produce otro número de este conjunto.

Lo vemos usando la regla de divisibilidad para $11.$ Si $ABC$ es divisible por $11,$ entonces tenemos que $A + C - B$ es divisible por $11.$

Esto significa que $C + A - B$ es divisible por $11,$ lo que significa que $CBA$ también es divisible por $11.$

Por lo tanto, estos números aportan $56 \cdot 6 \div 2 = 168$ permutaciones más.

En todos los casos, tenemos un total de $24 + 18 + 16 + 168 = 226$ números.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We can analyze all the multiples of $11$ and see how many permutations each of them contribute. We can do this by casing on the number of unique digits in the number.

Case $1:$ all the digits are the same

This cannot happen. We can see this by the divisibility rule for $11,$ which says that the sum of the first and last digit minus the middle digit must be divisible by $11.$

If all the digits are the same, then the above expression evaluates to that digit, which cannot be divisible by $11.$

Case $2:$ two of the digits are the same

We can split this up into the numbers that have the digit $0$ and those that don't.

There are $8$ multiples of $11$ that do not have the digit $0:$ $121, 242, 363, 484, 616, 737, 858,$ and $979.$

Each of these numbers contributes $3$ permutations, so this scenario has $8 \cdot 3 = 24$ numbers.

There are $9$ multiples of $11$ that have the digit $0:$ $110, 220, 330, 440, 550, 660, 770,$ $880,$ and $990.$

For these numbers, $0$ cannot be the hundreds digit, so each of them only contributes $2$ permutations, for a total of $9 \cdot 2 = 18.$

Case $3:$ all the digits are different

There are a total of $81$ multiples of $11$ between $100$ and $999.$ The number of these with all different digits is $81 - 8 - 9 = 64.$ As in case $2,$ we have to specially account for the numbers with $0$ as a digit. There are $8:$ $209, 308, 407, 506, 605, 704, 803,$ and $902.$

Each of these gives us $2 \cdot 2 = 4$ permutations, but we overcount by a factor of $2$ since flipping the first and last digits creates another number already in the set.

Therefore, these numbers provide a total of $8 \cdot 4 \div 2 = 16$ unique permutations.

There are now $64 - 8 = 56$ multiples of $11$ that we need to account for.

We know that each of these provides $3! = 6$ permutations. As above, however, note that flipping the first and last digit of any number in this set produces another number in this set.

We can see this by using the divisibility rule for $11.$ If $ABC$ is divisible by $11,$ then we have that $A + C - B$ is divisible by $11.$

This means that $C + A - B$ is divisible by $11,$ which means that $CBA$ is also divisible by $11.$

Therefore, these numbers contribute $56 \cdot 6 \div 2 = 168$ more permutations.

Over all the cases, we have a total of $24 + 18 + 16 + 168 = 226$ numbers.

Thus, A is the correct answer.

2017 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años