Podemos analizar todos los múltiplos de
11 y ver cuántas permutaciones aporta cada uno. Podemos hacer esto según el número de dígitos distintos del número.
Esto no puede ocurrir. Lo vemos por la regla de divisibilidad para
11, que dice que la suma del primer y el último dígito menos el dígito del medio debe ser divisible por
11.Si todos los dígitos son iguales, entonces la expresión anterior es igual a ese dígito, que no puede ser divisible por
11.Podemos dividir esto en los números que tienen el dígito
0 y los que no.
Cada uno de estos números aporta
3 permutaciones, así que este escenario tiene
8⋅3=24 números.
Para estos números,
0 no puede ser el dígito de las centenas, así que cada uno solo aporta
2 permutaciones, para un total de
9⋅2=18.Hay un total de
81 múltiplos de
11 entre
100 y
999. El número de estos con todos los dígitos diferentes es
81−8−9=64. Como en el caso
2, tenemos que considerar por separado los números que contienen el dígito
0. Hay
8: 209,308,407,506,605,704,803, y
902.Cada uno de estos nos da
2⋅2=4 permutaciones, pero contamos de más por un factor de
2 ya que intercambiar el primer y el último dígito crea otro número que ya está en el conjunto.
Por lo tanto, estos números aportan un total de
8⋅4÷2=16 permutaciones distintas.
Sabemos que cada uno de estos aporta
3!=6 permutaciones. Sin embargo, como antes, observa que intercambiar el primer y el último dígito de cualquier número de este conjunto produce otro número de este conjunto.
Lo vemos usando la regla de divisibilidad para
11. Si
ABC es divisible por
11, entonces tenemos que
A+C−B es divisible por
11.Por lo tanto, estos números aportan
56⋅6÷2=168 permutaciones más.
En total, entre todos los casos hay
24+18+16+168=226 números.
Por lo tanto, A es la respuesta correcta.
We can analyze all the multiples of
11 and see how many permutations each of them contribute. We can do this by casing on the number of unique digits in the number.
Case 1: all the digits are the same This cannot happen. We can see this by the divisibility rule for
11, which says that the sum of the first and last digit minus the middle digit must be divisible by
11.If all the digits are the same, then the above expression evaluates to that digit, which cannot be divisible by
11.Case 2: two of the digits are the same We can split this up into the numbers that have the digit
0 and those that don’t.
There are
8 multiples of
11 that do not have the digit
0: 121,242,363,484,616,737,858, and
979.Each of these numbers contributes
3 permutations, so this scenario has
8⋅3=24 numbers.
There are
9 multiples of
11 that have the digit
0:110,220,330,440,550,660,770, 880, and
990.For these numbers,
0 cannot be the hundreds digit, so each of them only contributes
2 permutations, for a total of
9⋅2=18.Case 3: all the digits are different There are a total of
81 multiples of
11 between
100 and
999. The number of these with all different digits is
81−8−9=64. As in case
2, we have to specially account for the numbers with
0 as a digit. There are
8: 209,308,407,506,605,704,803, and
902.Each of these gives us
2⋅2=4 permutations, but we overcount by a factor of
2 since flipping the first and last digits creates another number already in the set.
Therefore, these numbers provide a total of
8⋅4÷2=16 unique permutations.
There are now
64−8=56 multiples of
11 that we need to account for.
We know that each of these provides
3!=6 permutations. As above, however, note that flipping the first and last digit of any number in this set produces another number in this set.
We can see this by using the divisibility rule for
11. If
ABC is divisible by
11, then we have that
A+C−B is divisible by
11.This means that
C+A−B is divisible by
11, which means that
CBA is also divisible by
11.Therefore, these numbers contribute
56⋅6÷2=168 more permutations.
Over all the cases, we have a total of
24+18+16+168=226 numbers.
Thus, A is the correct answer.
