Question

Un insecto parte de un vértice de un cubo y se mueve a lo largo de las aristas del cubo según la siguiente regla. En cada vértice el insecto elige recorrer una de las tres aristas que salen de ese vértice. Cada arista tiene la misma probabilidad de ser elegida, y todas las elecciones son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que después de siete movimientos el insecto haya visitado cada vértice exactamente una vez?

A bug starts at one vertex of a cube and moves along the edges of the cube according to the following rule. At each vertex the bug will choose to travel along one of the three edges emanating from that vertex. Each edge has equal probability of being chosen, and all choices are independent. What is the probability that after seven moves the bug will have visited every vertex exactly once?

$\dfrac{1}{2187}$

$\dfrac{1}{729}$

$\dfrac{2}{243}$

$\dfrac{1}{81}$

$\dfrac{5}{243}$

Solución:

Después de $7$ movimientos hay $3^7 = 2187$ recorridos igualmente probables.

Un recorrido exitoso visita cada vértice exactamente una vez. Desde el inicio hay $3$ opciones para el primer movimiento y $2$ para el segundo (sin regresar). Etiquetando los primeros tres vértices como $A, B, C,$ el insecto debe moverse a uno de dos vértices, después de lo cual la ruta queda forzada salvo una única elección binaria, lo que da $3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$ tales caminos.

La probabilidad es $\frac{18}{2187} = \frac{2}{243}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

After $7$ moves there are $3^7 = 2187$ equally likely walks. A successful walk visits every vertex exactly once.

From the start there are $3$ choices for the first move and $2$ for the second (not returning). Labeling the first three vertices $A, B, C,$ the bug must move to one of two vertices, after which the route is forced except for a single binary choice, giving $3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$ such paths.

The probability is $\frac{18}{2187} = \frac{2}{243}.$

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años