Question

A cada cara de un cubo se le pinta una única franja estrecha desde el centro de una arista hasta el centro de su arista opuesta. La elección del par de aristas se hace al azar e independientemente para cada cara. ¿Cuál es la probabilidad de que haya una franja continua que rodee el cubo?

Each face of a cube is given a single narrow stripe painted from the center of one edge to the center of its opposite edge. The choice of the edge pairing is made at random and independently for each face. What is the probability that there is a continuous stripe encircling the cube?

$\dfrac18$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac14$

$\dfrac38$

$\dfrac12$

Solución:

La franja de cada cara tiene $2$ orientaciones, dando $2^6=64$ configuraciones igualmente probables.

Una franja envolvente rodea uno de los $3$ pares de caras opuestas. Para una banda dada, las $4$ caras que atraviesa deben estar orientadas cada una para continuarla, una probabilidad de $\left(\dfrac12\right)^4=\dfrac{1}{16}.$

Las tres bandas son mutuamente excluyentes, así que la probabilidad es $3\cdot\dfrac{1}{16}=\dfrac{3}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each face's stripe has $2$ orientations, giving $2^6=64$ equally likely configurations.

An encircling stripe runs around one of the $3$ pairs of opposite faces. For a given band, the $4$ faces it crosses must each be oriented to continue it, a probability of $\left(\dfrac12\right)^4=\dfrac{1}{16}.$

The three bands are mutually exclusive, so the probability is $3\cdot\dfrac{1}{16}=\dfrac{3}{16}.$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 10B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años