Question

Sea $D(n)$ el número de maneras de escribir el entero positivo $n$ como un producto $n = f_1\cdot f_2\cdots f_k,$ donde $k\ge1$ , los $f_i$ son enteros estrictamente mayores que $1$ , y el orden en que se listan los factores importa (es decir, dos representaciones que difieren solo en el orden de los factores se cuentan como distintas). Por ejemplo, el número $6$ puede escribirse como $6$ , $2\cdot 3$ y $3\cdot2$ , así que $D(6) = 3$ . ¿Cuánto vale $D(96)$ ?

Let $D(n)$ denote the number of ways of writing the positive integer $n$ as a product $n = f_1\cdot f_2\cdots f_k,$ where $k\ge1,$ the $f_i$ are integers strictly greater than $1,$ and the order in which the factors are listed matters (that is, two representations that differ only in the order of the factors are counted as distinct). For example, the number $6$ can be written as $6,$ $2\cdot 3,$ and $3\cdot2,$ so $D(6) = 3.$ What is $D(96)?$

$112$

$128$

$144$

$172$

$184$

Solución en video:

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Solución escrita:

Escribe $96=2^5\cdot3$ . Supongamos que una factorización ordenada tiene $k$ factores. Exactamente un factor contiene el único factor primo $3$ ; elige su posición de $k$ maneras.

Los otros $k-1$ factores deben contener cada uno al menos un factor de $2$ , mientras que el factor que contiene el $3$ puede contener cualquier cantidad de factores de $2$ . Distribuir los cinco factores de $2$ bajo estas condiciones puede hacerse de $\binom{5}{k-1}$ maneras. Por lo tanto, el número de factorizaciones ordenadas con $k$ factores es $k\binom{5}{k-1}$ , donde $1\le k\le6$ .

Así $D(96)=\sum_{k=1}^6 k\binom{5}{k-1}.$ Haciendo $j=k-1$ , esto se convierte en $\begin{aligned} &\sum_{j=0}^5 (j+1)\binom5j \\ &\quad =\sum_{j=0}^5 j\binom5j+\sum_{j=0}^5\binom5j \\ &\quad =5\cdot2^4+2^5 \\ &\quad =80+32=112. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write $96=2^5\cdot3$ . Suppose an ordered factorization has $k$ factors. Exactly one factor contains the single prime factor $3$ ; choose its position in $k$ ways.

The other $k-1$ factors must each contain at least one factor of $2$ , while the factor containing $3$ may contain any number of factors of $2$ . Distributing the five factors of $2$ under these conditions can be done in $\binom{5}{k-1}$ ways. Therefore the number of ordered factorizations with $k$ factors is $k\binom{5}{k-1}$ , where $1\le k\le6$ .

Thus $D(96)=\sum_{k=1}^6 k\binom{5}{k-1}.$ Letting $j=k-1$ , this becomes $\begin{aligned} &\sum_{j=0}^5 (j+1)\binom5j \\ &\quad =\sum_{j=0}^5 j\binom5j+\sum_{j=0}^5\binom5j \\ &\quad =5\cdot2^4+2^5 \\ &\quad =80+32=112. \end{aligned}$

Thus, A is the correct answer.

2020 AMC 10B Problema 25

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 25 en otros años