Question

Un rectángulo de lados $1$ y $3,$ un cuadrado de lado $1,$ y un rectángulo $R$ están inscritos dentro de un cuadrado más grande como se muestra. La suma de todos los valores posibles del área de $R$ se puede escribir en la forma $\tfrac mn,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m+n$ ?

A rectangle with side lengths $1$ and $3,$ a square with side length $1,$ and a rectangle $R$ are inscribed inside a larger square as shown. The sum of all possible values for the area of $R$ can be written in the form $\tfrac mn,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$14$

$23$

$46$

$59$

$67$

Solución:

Usamos triángulos semejantes como se muestra en el diagrama. El lado izquierdo del cuadrado grande tiene longitud $4x+2y$ , y el lado inferior tiene longitud $3y+x$ . Como son iguales, $3y+x=4x+2y$ , así que $y=3x$ . Por lo tanto, el lado del cuadrado grande es $10x$ .

En la parte superior de la figura, sea $m$ el segmento horizontal marcado. Los dos triángulos rectángulos formados por los lados del rectángulo $R$ tienen lados correspondientes paralelos e hipotenusas iguales, así que son congruentes. Esto da las longitudes que se muestran a continuación.

Los triángulos semejantes dan $\frac{m}{3x}=\frac{4x-\frac m3}{6x-m}.$ Por lo tanto $6xm-m^2=12x^2-xm$ , así que $\begin{gathered} m^2-7xm+12x^2=0\\ =(m-3x)(m-4x). \end{gathered}$

Si $m=3x$ , el rectángulo $R$ tiene lado $3\sqrt2x$ en ambas direcciones, así que su área es $18x^2$ . Si $m=4x$ , sus lados son $5x$ y $\frac{10}{3}x$ , así que su área es $\frac{50}{3}x^2$ .

Las dos áreas posibles suman $\frac{104}{3}x^2$ . Como el rectángulo $1\times3$ da $x^2+(3x)^2=1$ , tenemos $x^2=\frac1{10}$ . La suma de las áreas posibles es $\frac{104}{3}\cdot\frac1{10}=\frac{52}{15}.$

Así $m+n=52+15=67$ , y la respuesta es E.

Use similar triangles as shown in the diagram. The left side of the large square has length $4x+2y$ , and the bottom side has length $3y+x$ . Since these are equal, $3y+x=4x+2y$ , so $y=3x$ . The side length of the large square is therefore $10x$ .

In the upper part of the figure, let the marked horizontal segment be $m$ . The two right triangles formed by the sides of rectangle $R$ have parallel corresponding sides and equal hypotenuses, so they are congruent. This gives the lengths shown below.

Similar triangles give $\frac{m}{3x}=\frac{4x-\frac m3}{6x-m}.$ Hence $6xm-m^2=12x^2-xm$ , so $\begin{gathered} m^2-7xm+12x^2=0\\ =(m-3x)(m-4x). \end{gathered}$

If $m=3x$ , rectangle $R$ has side length $3\sqrt2x$ in both directions, so its area is $18x^2$ . If $m=4x$ , its side lengths are $5x$ and $\frac{10}{3}x$ , so its area is $\frac{50}{3}x^2$ .

The two possible areas sum to $\frac{104}{3}x^2$ . Since the $1\times3$ rectangle gives $x^2+(3x)^2=1$ , we have $x^2=\frac1{10}$ . The sum of the possible areas is $\frac{104}{3}\cdot\frac1{10}=\frac{52}{15}.$

Thus $m+n=52+15=67$ , and the answer is E .

2021 AMC 10B Fall Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años