Soluciones del 2021 AMC 10B Fall | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de $1234 + 2341 + 3412 + 4123?$

What is the value of $1234 + 2341 + 3412 + 4123?$

$10{,}000$

$10{,}010$

$10{,}110$

$11{,}000$

$11{,}110$

Conceptos:valor posicional emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Cada dígito aparece una vez en cada valor posicional.

Each digit appears once in each place value

Pista grande:

La suma de los dígitos en cada columna es $10$ .

The digit sum in each column is $10$

Solución:

Podemos sumar cada dígito por separado, lo que da $11,110.$

También podemos obtener la suma notando que cada dígito tiene una suma de $10,$ así que la suma es igual a $10\cdot 1111 = 11,110.$

Por lo tanto, la respuesta es E.

We can add each individual digit, yielding $11,110.$

We can also get the sum by noticing that each digit has a sum of $10,$ so the sum is equal to $10\cdot 1111 = 11,110.$

Thus, the answer is E .

2.

¿Cuál es el área de la figura sombreada que se muestra a continuación?

What is the area of the shaded figure shown below?

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

Conceptos:descomposición de áreas área del triángulo

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Halla el área del triángulo grande y resta el área del triángulo pequeño.

Find the large triangle area and subtract the small triangle area

Pista grande:

Ambos triángulos tienen base $4$ .

Both triangles have base $4$

Solución:

El área es la de un triángulo, igual a $\dfrac {4\cdot 5}2 - \dfrac{2\cdot 4}2 = 10-4$ $= 6$ ya que restamos el área de un triángulo más pequeño al de uno más grande.

Por lo tanto, la respuesta es B.

The area is a triangle of area $\dfrac {4\cdot 5}2 - \dfrac{2\cdot 4}2 = 10-4$ $= 6$ since we subtract the area of a smaller triangle from a larger triangle.

Thus, the answer is B .

3.

La expresión $\dfrac{2021}{2020} - \dfrac{2020}{2021}$ es igual a la fracción $\frac{p}{q}$ en la que $p$ y $q$ son enteros positivos cuyo máximo común divisor es $1.$ ¿Cuánto vale $p$ ?

The expression $\dfrac{2021}{2020} - \dfrac{2020}{2021}$ is equal to the fraction $\frac{p}{q}$ in which $p$ and $q$ are positive integers whose greatest common divisor is $1.$ What is $p?$

$1$

$9$

$2020$

$2021$

$4041$

Conceptos:fracción diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Usa un denominador común.

Use a common denominator

Pista grande:

El numerador es $2021^2-2020^2$ .

The numerator is $2021^2-2020^2$

Solución:

Podemos reescribirlo como $\dfrac{2021\cdot 2021}{2020\cdot 2021} -\dfrac{2020\cdot 2020}{2020\cdot 2021}$ $= \dfrac{2021^2-2020^2}{2020\cdot 2021}.$

Esto se puede simplificar a $\dfrac{(2021-2020)(2021+2020)}{2020\cdot 2021}$ $=\dfrac{4041}{2020\cdot 2021}.$

Como $4041$ es coprimo con $2020$ y con $2021,$ sabemos que $4041$ es el numerador.

Por lo tanto, la respuesta es E.

We can rewrite this as $\dfrac{2021\cdot 2021}{2020\cdot 2021} -\dfrac{2020\cdot 2020}{2020\cdot 2021}$ $= \dfrac{2021^2-2020^2}{2020\cdot 2021}.$

This can be simplified to $\dfrac{(2021-2020)(2021+2020)}{2020\cdot 2021}$ $=\dfrac{4041}{2020\cdot 2021}.$

Since $4041$ is coprime with both $2020$ and $2021,$ we know $4041$ is the numerator.

Thus, the answer is E .

4.

Al mediodía de cierto día, Minneapolis está $N$ grados más cálida que St. Louis. A las $4{:}00$ la temperatura en Minneapolis ha bajado $5$ grados mientras que la de St. Louis ha subido $3$ grados, momento en el cual las temperaturas de las dos ciudades difieren en $2$ grados. ¿Cuál es el producto de todos los valores posibles de $N$ ?

At noon on a certain day, Minneapolis is $N$ degrees warmer than St. Louis. At $4{:}00$ the temperature in Minneapolis has fallen by $5$ degrees while the temperature in St. Louis has risen by $3$ degrees, at which time the temperatures in the two cities differ by $2$ degrees. What is the product of all possible values of $N?$

$10$

$30$

$60$

$100$

$120$

Conceptos:valor absoluto ecuación lineal

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Después de los cambios de temperatura, la diferencia es $|N-8|$ .

After the temperature changes, the difference is $|N-8|$

Pista grande:

Resuelve $|N-8|=2$ .

Solve $|N-8|=2$

Solución:

Sea $N=m-s$ la diferencia de temperatura al mediodía. A las $4{:}00,$ la nueva diferencia es $(m-5)-(s+3)=N-8.$

Entonces las temperaturas difieren en $2$ grados, así que $|N-8|=2.$ Por lo tanto $N=6$ o $N=10,$ y el producto de todos los valores posibles es $6\cdot10=60.$

Por lo tanto, la respuesta es C.

Let $N=m-s$ be the noon temperature difference. At $4{:}00,$ the new difference is $(m-5)-(s+3)=N-8.$

The temperatures then differ by $2$ degrees, so $|N-8|=2.$ Hence $N=6$ or $N=10,$ and the product of all possible values is $6\cdot10=60.$

Thus, the answer is C .

5.

Sea $n=8^{2022}.$ ¿Cuál de las siguientes opciones es igual a $\frac{n}{4}$ ?

Let $n=8^{2022}.$ Which of the following is equal to $\frac{n}{4}?$

$4^{1010}$

$2^{2022}$

$8^{2018}$

$4^{3031}$

$4^{3032}$

Conceptos:exponente potencia de 2

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Escribe $8^{2022}$ como una potencia de $4$ .

Write $8^{2022}$ as a power of $4$

Pista grande:

$8^{2022}=4^{3033}$ .

$8^{2022}=4^{3033}$

Solución:

Como $8=2^3,$ tenemos $n=8^{2022}=2^{6066}=4^{3033}.$

Por lo tanto $\frac n4=\frac{4^{3033}}4=4^{3032}.$

Por lo tanto, la respuesta es E.

Since $8=2^3,$ we have $n=8^{2022}=2^{6066}=4^{3033}.$

Therefore $\frac n4=\frac{4^{3033}}4=4^{3032}.$

Thus, the answer is E .

6.

El menor entero positivo con exactamente $2021$ divisores positivos distintos se puede escribir en la forma $m \cdot 6^k,$ donde $m$ y $k$ son enteros y $6$ no es divisor de $m.$ ¿Cuánto vale $m+k$ ?

The least positive integer with exactly $2021$ distinct positive divisors can be written in the form $m \cdot 6^k,$ where $m$ and $k$ are integers and $6$ is not a divisor of $m.$ What is $m+k?$

$47$

$58$

$59$

$88$

$90$

Conceptos:conteo de factores factorización en primos optimización

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

$2021=43\cdot47$ .

$2021=43\cdot47$

Pista grande:

Para minimizar el número, coloca el exponente mayor sobre el primo menor.

To minimize the number, put the larger exponent on the smaller prime

Solución:

Antes de comenzar, notemos que si podemos representar la factorización prima de un entero $z$ como $z=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots,$ entonces hay $(e_1+1)(e_2+1) \cdots$ factores positivos distintos.

Si el número en cuestión tiene $2021$ factores, por la lógica anterior, $2021=(e_1+1)(e_2+1) \cdots,$ y como la factorización prima de $2021 = 43\cdot 47,$ entonces nuestro número debe ser $p_1^{46}p_2^{42}$ o $p^{2020}.$

El número más pequeño que podemos formar de cualquiera de estas maneras se obtiene tomando $p_1 = 2,p_2=3$ en la primera configuración, lo que da $2^{46}3^{42} = 16\cdot 6^{42} .$

Por lo tanto, $m=16$ $k=42,$ así que $m+k = 42+16 = 58.$

Por lo tanto, la respuesta es B.

Before starting, note that if we can represent the prime factorization of an integer $z$ as $z=p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots,$ then there are $(e_1+1)(e_2+1) \cdots$ distinct positive factors.

If the number in question has $2021$ factors, by the previous logic, $2021=(e_1+1)(e_2+1) \cdots,$ and as the prime factorization of $2021 = 43\cdot 47,$ then our number must be $p_1^{46}p_2^{42}$ or $p^{2020}.$

The smallest number we can make in either of these is making $p_1 = 2,p_2=3$ in the first configuration, yielding $2^{46}3^{42} = 16\cdot 6^{42} .$

Therefore, $m=16$ $k=42,$ so $m+k = 42+16 = 58.$

Thus, the answer is B .

7.

Llamamos a una fracción $\frac{a}{b},$ no necesariamente en su forma más simple, “especial” si $a$ y $b$ son enteros positivos cuya suma es $15.$ ¿Cuántos enteros distintos se pueden escribir como la suma de dos fracciones especiales, no necesariamente diferentes?

Call a fraction $\frac{a}{b},$ not necessarily in simplest form, special if $a$ and $b$ are positive integers whose sum is $15.$ How many distinct integers can be written as the sum of two, not necessarily different, special fractions?

$\ 9$

$\ 10$

$\ 11$

$\ 12$

$\ 13$

Conceptos:fracción divisibilidad enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Una fracción especial se puede escribir como $\frac{15}{b}-1$ .

A special fraction can be written as $\frac{15}{b}-1$

Pista grande:

Revisa los pares de denominadores cuyas partes fraccionarias se cancelan.

Check pairs of denominators whose fractional parts cancel

Solución:

Una fracción especial con denominador $b$ es igual a $\frac{15-b}{b}=\frac{15}{b}-1,$ donde $1\le b\le14.$ Necesitamos valores enteros de $\frac{15}{x}+\frac{15}{y}-2.$

Tomando $x\le y,$ al revisar los catorce denominadores posibles se obtienen los siguientes pares que producen enteros: $\begin{gathered} (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),\\ (2,10),(3,3),(3,5),(4,12),\\ (5,5),(6,6),(6,10),(10,10). \end{gathered}$ Sus sumas distintas son $1,2,3,4,6,7,8,13,16,18,28.$

Hay $11$ enteros de este tipo.

Por lo tanto, la respuesta es C.

A special fraction with denominator $b$ equals $\frac{15-b}{b}=\frac{15}{b}-1,$ where $1\le b\le14.$ We need integer values of $\frac{15}{x}+\frac{15}{y}-2.$

Taking $x\le y,$ a check of the fourteen possible denominators gives the following pairs that produce integers: $\begin{gathered} (1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),\\ (2,10),(3,3),(3,5),(4,12),\\ (5,5),(6,6),(6,10),(10,10). \end{gathered}$ Their distinct sums are $1,2,3,4,6,7,8,13,16,18,28.$

There are $11$ such integers.

Thus, the answer is C .

8.

El mayor número primo que es divisor de $16{,}384$ es $2$ porque $16{,}384 = 2^{14}.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos del mayor número primo que es divisor de $16{,}383$ ?

The greatest prime number that is a divisor of $16{,}384$ is $2$ because $16{,}384 = 2^{14}.$ What is the sum of the digits of the greatest prime number that is a divisor of $16{,}383?$

$3$

$7$

$10$

$16$

$22$

Conceptos:factorización en primos diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

$16383=2^{14}-1$ .

$16383=2^{14}-1$

Pista grande:

Usa $2^{14}-1=(2^7-1)(2^7+1)$ .

Use $2^{14}-1=(2^7-1)(2^7+1)$

Solución:

Sabemos que $\begin{aligned}16,383 &= 16384-1 \\&= 2^{14}-1 \\&= (2^7-1)(2^7+1) \\&= 127\cdot 129.\end{aligned}$ Como $129=3\cdot 43,$ obtenemos $16383 = 3\cdot 43\cdot 127.$ Por lo tanto, $127$ es el mayor factor primo, y la suma de sus dígitos es $10.$

Por lo tanto, la respuesta es C.

We know $\begin{aligned}16,383 &= 16384-1 \\&= 2^{14}-1 \\&= (2^7-1)(2^7+1) \\&= 127\cdot 129.\end{aligned}$ Since $129=3\cdot 43,$ we get $16383 = 3\cdot 43\cdot 127.$ Therefore, $127$ is the largest prime factor, and the sum of its digits is $10.$

Thus, the answer is C .

9.

Los caballeros de cierto reino son de dos colores. $\frac{2}{7}$ de ellos son rojos, y el resto son azules. Además, $\frac{1}{6}$ de los caballeros son mágicos, y la fracción de caballeros rojos que son mágicos es $2$ veces la fracción de caballeros azules que son mágicos. ¿Qué fracción de los caballeros rojos son mágicos?

The knights in a certain kingdom come in two colors. $\frac{2}{7}$ of them are red, and the rest are blue. Furthermore, $\frac{1}{6}$ of the knights are magical, and the fraction of red knights who are magical is $2$ times the fraction of blue knights who are magical. What fraction of red knights are magical?

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{3}{13}$

$\dfrac{7}{27}$

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{1}{3}$

Conceptos:media ponderada razón y proporción fracción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Sea $x$ la fracción de caballeros azules que son mágicos.

Let the blue magical fraction be $x$

Pista grande:

La fracción mágica total es un promedio ponderado de $2x$ y $x$ .

The total magical fraction is a weighted average of $2x$ and $x$

Solución:

Sea $x$ la fracción de caballeros azules que son mágicos. Entonces la fracción de caballeros rojos que son mágicos es $2x.$

La fracción mágica total es un promedio ponderado sobre los grupos rojo y azul: $\frac27(2x)+\frac57(x)=\frac16.$

Así $\frac97x=\frac16,$ de modo que $x=\frac7{54}.$ La fracción mágica de los rojos es $2x=\frac7{27}.$

Por lo tanto, la respuesta es C.

Let $x$ be the fraction of blue knights who are magical. Then the fraction of red knights who are magical is $2x.$

The total magical fraction is a weighted average over the red and blue groups: $\frac27(2x)+\frac57(x)=\frac16.$

Thus $\frac97x=\frac16,$ so $x=\frac7{54}.$ The red magical fraction is $2x=\frac7{27}.$

Thus, the answer is C .

10.

Cuarenta papeletas numeradas del $1$ al $40$ se colocan en un sombrero. Alice y Bob sacan cada uno un número del sombrero sin reemplazo, manteniendo sus números ocultos entre sí. Alice dice: “No puedo saber quién tiene el número más grande.” Luego Bob dice: “Yo sé quién tiene el número más grande.” Alice dice: “¿Lo sabes? ¿Tu número es primo?” Bob responde: “Sí.” Alice dice: “En ese caso, si multiplico tu número por $100$ y le sumo mi número, el resultado es un cuadrado perfecto.” ¿Cuál es la suma de los dos números sacados del sombrero?

Forty slips of paper numbered $1$ to $40$ are placed in a hat. Alice and Bob each draw one number from the hat without replacement, keeping their numbers hidden from each other. Alice says, “I can’t tell who has the larger number.” Then Bob says, “I know who has the larger number.” Alice says, “You do? Is your number prime?” Bob replies, “Yes.” Alice says, “In that case, if I multiply your number by $100$ and add my number, the result is a perfect square.” What is the sum of the two numbers drawn from the hat?

$27$

$37$

$47$

$57$

$67$

Conceptos:deducción lógica primo cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

La primera afirmación de Alice descarta $1$ y $40$ .

Alice’s first statement rules out $1$ and $40$

Pista grande:

Bob solo puede saberlo si su número es uno de los nuevos extremos.

Bob can know only if his number is one of the new extremes

Solución:

Si Alice hubiera sacado $1$ o $40,$ sabría quién tiene el número más grande. Su primera afirmación le dice a Bob que Alice no tiene ni $1$ ni $40.$

Entonces Bob puede saber quién tiene el número más grande solo si su número es $1,2,39,$ o $40.$ Como Bob dice que su número es primo, su número debe ser $2.$

Ahora $100\cdot2$ más el número de Alice es un cuadrado entre $201$ y $240.$ El único cuadrado en ese intervalo es $225,$ así que el número de Alice es $25.$ La suma es $2+25=27.$

Por lo tanto, la respuesta es A.

If Alice had drawn $1$ or $40,$ she would know who had the larger number. Her first statement tells Bob that Alice has neither $1$ nor $40.$

Bob can then know who has the larger number only if his number is $1,2,39,$ or $40.$ Since Bob says his number is prime, his number must be $2.$

Now $100\cdot2$ plus Alice’s number is a square between $201$ and $240.$ The only square in that interval is $225,$ so Alice’s number is $25.$ The sum is $2+25=27.$

Thus, the answer is A .

11.

Un hexágono regular de lado $1$ está inscrito en un círculo. Cada arco menor del círculo determinado por un lado del hexágono se refleja sobre ese lado. ¿Cuál es el área de la región limitada por estos $6$ arcos reflejados?

A regular hexagon of side length $1$ is inscribed in a circle. Each minor arc of the circle determined by a side of the hexagon is reflected over that side. What is the area of the region bounded by these $6$ reflected arcs?

$\frac{5\sqrt{3}}{2} - \pi$

$3\sqrt{3}-\pi$

$4\sqrt{3}-\frac{3\pi}{2}$

$\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\pi + \sqrt{3}}{2}$

Conceptos:descomposición de áreas polígono regular área del círculo

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Compara la región de los arcos reflejados con el círculo original.

Compare the reflected-arc region with the original circle

Pista grande:

El hexágono es el promedio de las dos regiones.

The hexagon is the average of the two regions

Solución:

El círculo original está formado por el hexágono regular más $6$ segmentos circulares iguales. Reflejar cada arco menor sobre su lado coloca esos mismos $6$ segmentos dentro del hexágono.

Por lo tanto, el promedio del área del círculo y del área de la región de los arcos reflejados es el área del hexágono regular. El hexágono tiene área $6\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2},$ y el círculo tiene radio $1,$ así que su área es $\pi.$

Si el área buscada es $A,$ entonces $\frac{A+\pi}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},$ así que $A=3\sqrt3-\pi.$

Por lo tanto, la respuesta es B.

The original circle is made from the regular hexagon plus $6$ equal circular segments. Reflecting each minor arc over its side puts those same $6$ segments inside the hexagon instead.

Therefore the average of the circle’s area and the reflected-arc region’s area is the area of the regular hexagon. The hexagon has area $6\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2},$ and the circle has radius $1,$ so its area is $\pi.$

If the desired area is $A,$ then $\frac{A+\pi}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},$ so $A=3\sqrt3-\pi.$

Thus, the answer is B .

12.

¿Cuál de las siguientes condiciones es suficiente para garantizar que los enteros $x,$ $y,$ $z$ satisfacen la ecuación $x(x-y)+y(y-z)+z(z-x)$ $= 1?$

Which of the following conditions is sufficient to guarantee that integers $x,$ $y,$ and $z$ satisfy the equation $x(x-y)+y(y-z)+z(z-x)$ $= 1?$

x > y y $y=z$

x > y and $y=z$

$x=y-1$ y $y=z-1$

$x=y-1$ and $y=z-1$

$x=z+1$ y $y=x+1$

$x=z+1$ and $y=x+1$

$x=z$ y $y-1=x$

$x=z$ and $y-1=x$

$x+y+z=1$

Conceptos:manipulación algebraica Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Reescribe la expresión usando diferencias al cuadrado.

Rewrite the expression using squared differences

Pista grande:

Las tres diferencias al cuadrado deben sumar $2$ .

The three squared differences must sum to $2$

Solución:

Sea $E=x(x-y)+y(y-z)$ $+z(z-x).$ Desarrollando se obtiene $\begin{aligned} 2E={}&(x-y)^2+(y-z)^2\\ &+(z-x)^2. \end{aligned}$

Para que el valor sea $1,$ los tres términos cuadrados no negativos deben sumar $2.$ Como $x,y,z$ son enteros, esto significa que las diferencias al cuadrado son $1,1,0.$

Así, dos de las variables deben ser iguales, y la tercera debe diferir de ellas en $1.$ La condición $x=z$ y $y-1=x$ garantiza exactamente eso.

Por lo tanto, la respuesta es D.

Let $E=x(x-y)+y(y-z)$ $+z(z-x).$ Expanding gives $\begin{aligned} 2E={}&(x-y)^2+(y-z)^2\\ &+(z-x)^2. \end{aligned}$

For the value to be $1,$ the three nonnegative square terms must sum to $2.$ Since $x,y,z$ are integers, this means the squared differences are $1,1,0.$

Thus two of the variables must be equal, and the third must differ from them by $1.$ The condition $x=z$ and $y-1=x$ guarantees exactly that.

Thus, the answer is D .

13.

Un cuadrado de lado $3$ está inscrito en un triángulo isósceles con uno de sus lados sobre la base del triángulo. Un cuadrado de lado $2$ tiene dos vértices sobre el otro cuadrado y los otros dos sobre los lados del triángulo, como se muestra. ¿Cuál es el área del triángulo?

A square with side length $3$ is inscribed in an isosceles triangle with one side of the square along the base of the triangle. A square with side length $2$ has two vertices on the other square and the other two on sides of the triangle, as shown. What is the area of the triangle?

$19\frac14$

$20\frac14$

$21 \frac34$

$22\frac12$

$23\frac34$

Conceptos:semejanza área del triángulo cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Usa triángulos semejantes para relacionar los anchos a diferentes alturas.

Use similar triangles to relate widths at different heights

Pista grande:

Los anchos del triángulo son $2$ y $3$ a alturas separadas por $2$ .

The triangle widths are $2$ and $3$ at heights separated by $2$

Solución:

Sea $H$ la altura del triángulo isósceles y $B$ su base. Por semejanza, los anchos horizontales del triángulo son proporcionales a la distancia al vértice superior.

El lado superior del cuadrado más grande tiene ancho $3$ y está a $H-3$ unidades del vértice superior. El lado superior del cuadrado más pequeño tiene ancho $2$ y está a $H-5$ unidades del vértice superior. Por lo tanto $\frac{3}{H-3}=\frac{2}{H-5}.$

Al resolver se obtiene $H=9.$ Además $\frac{B}{H}=\frac{3}{H-3},$ así que $B=\frac{9}{2}.$ El área es $\frac12\cdot\frac92\cdot9=\frac{81}{4}=20\frac14.$

Por lo tanto, la respuesta es B.

Let the isosceles triangle have height $H$ and base $B.$ By similarity, horizontal widths in the triangle are proportional to distance from the top vertex.

The top side of the larger square has width $3$ and is $H-3$ units from the top. The top side of the smaller square has width $2$ and is $H-5$ units from the top. Hence $\frac{3}{H-3}=\frac{2}{H-5}.$

Solving gives $H=9.$ Also $\frac{B}{H}=\frac{3}{H-3},$ so $B=\frac{9}{2}.$ The area is $\frac12\cdot\frac92\cdot9=\frac{81}{4}=20\frac14.$

Thus, the answer is B .

14.

Una lanza $6$ dados estándar de $6$ caras simultáneamente y calcula el producto de los $6$ números obtenidos. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea divisible entre $4$ ?

Una rolls $6$ standard $6$ -sided dice simultaneously and calculates the product of the $6$ numbers obtained. What is the probability that the product is divisible by $4?$

$\dfrac34$

$\dfrac{57}{64}$

$\dfrac{59}{64}$

$\dfrac{187}{192}$

$\dfrac{63}{64}$

Conceptos:dados (probabilidad)probabilidad complementaria análisis por casos

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Cuenta el complemento: el producto no divisible entre $4$ .

Count the complement: product not divisible by $4$

Pista grande:

El complemento no tiene ningún factor $2,$ o tiene exactamente un factor $2$ .

The complement has either no factor of $2,$ or exactly one factor of $2$

Solución:

Contamos el complemento, en el que el producto no es divisible entre $4.$ Esto ocurre si el producto no tiene ningún factor $2,$ o exactamente un factor $2.$

Que todos los dados sean impares tiene probabilidad $(\frac12)^6=\frac1{64}.$ Exactamente un factor $2$ significa que exactamente un dado muestra $2$ o $6,$ y los otros cinco dados son impares. Esto tiene probabilidad $6\cdot\frac26\cdot\left(\frac12\right)^5=\frac4{64}.$

El complemento tiene probabilidad $\frac5{64},$ así que la probabilidad buscada es $1-\frac5{64}=\frac{59}{64}.$

Por lo tanto, la respuesta es C.

Count the complement, where the product is not divisible by $4.$ This happens if the product has no factor of $2,$ or exactly one factor of $2.$

All dice odd has probability $(\frac12)^6=\frac1{64}.$ Exactly one factor of $2$ means exactly one die is $2$ or $6,$ and the other five dice are odd. This has probability $6\cdot\frac26\cdot\left(\frac12\right)^5=\frac4{64}.$

The complement has probability $\frac5{64},$ so the desired probability is $1-\frac5{64}=\frac{59}{64}.$

Thus, the answer is C .

15.

En el cuadrado $ABCD,$ los puntos $P$ y $Q$ están sobre $\overline{AD}$ y $\overline{AB},$ respectivamente. Los segmentos $\overline{BP}$ y $\overline{CQ}$ se cortan en ángulo recto en $R,$ con $BR = 6$ y $PR = 7.$ ¿Cuál es el área del cuadrado?

In square $ABCD,$ points $P$ and $Q$ lie on $\overline{AD}$ and $\overline{AB},$ respectively. Segments $\overline{BP}$ and $\overline{CQ}$ intersect at right angles at $R,$ with $BR = 6$ and $PR = 7.$ What is the area of the square?

$85$

$93$

$100$

$117$

$125$

Conceptos:cuadrado (geometría)congruencia (geometría)semejanza Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

$BP=13$ por el triángulo $6,7,13$ .

$BP=13$ by the $6,7,13$ triangle

Pista grande:

Usa el teorema de la altura en el triángulo rectángulo $BQC$ .

Use the altitude theorem in right triangle $BQC$

Solución:

Como $BR=6$ y $PR=7,$ tenemos $BP=13.$ Al seguir los ángulos rectos y los ángulos del cuadrado se obtiene $\triangle PAB\cong\triangle QBC,$ así que $CQ=BP=13.$

Como $BP\perp CQ,$ el punto $R$ es el pie de la altura desde $B$ hasta la hipotenusa $CQ$ del triángulo rectángulo $BQC.$ Por lo tanto, $QR\cdot RC=BR^2=36$ y $QR+RC=CQ=13.$

Así, $QR$ y $RC$ son $4$ y $9.$ Como $P$ está en $\overline{AD},$ tenemos $AP\le AB.$ La congruencia da $BQ=AP,$ mientras que las fórmulas de proyección para triángulos rectángulos dan $BQ^2=CQ\cdot QR$ y $BC^2=CQ\cdot RC.$ Por consiguiente, $QR\le RC,$ de modo que $QR=4$ y $RC=9.$ Entonces, $\begin{aligned} BC^2&=BR^2+RC^2\\ &=6^2+9^2\\ &=117. \end{aligned}$

El área del cuadrado es $117.$

Así, la respuesta es D.

Since $BR=6$ and $PR=7,$ we have $BP=13.$ The right-angle and square-angle chasing gives $\triangle PAB\cong\triangle QBC,$ so $CQ=BP=13.$

Because $BP\perp CQ,$ point $R$ is the foot of the altitude from $B$ to the hypotenuse $CQ$ of right triangle $BQC.$ Thus $QR\cdot RC=BR^2=36$ and $QR+RC=CQ=13.$

So $QR$ and $RC$ are $4$ and $9.$ Because $P$ lies on $\overline{AD},$ we have $AP\le AB.$ Congruence gives $BQ=AP,$ while the right-triangle projection formulas give $BQ^2=CQ\cdot QR$ and $BC^2=CQ\cdot RC.$ Hence $QR\le RC,$ so $QR=4$ and $RC=9.$ Therefore, $\begin{aligned} BC^2&=BR^2+RC^2\\ &=6^2+9^2\\ &=117. \end{aligned}$

The area of the square is $117.$

Thus, the answer is D .

16.

Cinco bolas están dispuestas alrededor de un círculo. Chris elige dos bolas adyacentes al azar y las intercambia. Luego Silva hace lo mismo, y su elección de bolas adyacentes a intercambiar es independiente de la de Chris. ¿Cuál es el número esperado de bolas que ocupan sus posiciones originales después de estas dos transposiciones sucesivas?

Five balls are arranged around a circle. Chris chooses two adjacent balls at random and interchanges them. Then Silva does the same, with her choice of adjacent balls to interchange being independent of Chris’s. What is the expected number of balls that occupy their original positions after these two successive transpositions?

$1.6$

$1.8$

$2.0$

$2.2$

$2.4$

Conceptos:valor esperado análisis por casos

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Considera casos según cómo el intercambio de Silva se superpone con el de Chris.

Case on how Silva’s swap overlaps Chris’s swap

Pista grande:

Los tamaños de superposición tienen probabilidades $\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{2}{5}$ .

The overlap sizes have probabilities $\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{2}{5}$

Solución:

Después de que Chris elige un par adyacente, Silva tiene $5$ pares adyacentes igualmente probables para elegir.

Si Silva elige el mismo par, las $5$ bolas regresan a sus posiciones originales. Esto tiene probabilidad $\frac15.$

Si Silva elige un par que comparte exactamente una bola con el par de Chris, entonces $2$ bolas están en sus posiciones originales. Hay $2$ pares de este tipo, así que esto tiene probabilidad $\frac25.$

Si Silva elige un par adyacente disjunto, entonces $1$ bola está en su posición original. Esto también tiene probabilidad $\frac25.$

El número esperado es $\begin{aligned} 5\cdot\frac15+2\cdot\frac25+1\cdot\frac25&=\frac{11}{5}\\ &=2.2. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta es D.

After Chris chooses an adjacent pair, Silva has $5$ equally likely adjacent pairs to choose.

If Silva chooses the same pair, all $5$ balls return to their original positions. This has probability $\frac15.$

If Silva chooses a pair sharing exactly one ball with Chris’s pair, then $2$ balls are in their original positions. There are $2$ such pairs, so this has probability $\frac25.$

If Silva chooses a disjoint adjacent pair, then $1$ ball is in its original position. This also has probability $\frac25.$

The expected number is $\begin{aligned} 5\cdot\frac15+2\cdot\frac25+1\cdot\frac25&=\frac{11}{5}\\ &=2.2. \end{aligned}$

Thus, the answer is D .

17.

Las rectas distintas $\ell$ y $m$ están en el plano $xy$ . Se cortan en el origen. El punto $P(-1, 4)$ se refleja sobre la recta $\ell$ al punto $P',$ y luego $P'$ se refleja sobre la recta $m$ al punto $P''.$ La ecuación de la recta $\ell$ es $5x - y = 0,$ y las coordenadas de $P''$ son $(4,1).$ ¿Cuál es la ecuación de la recta $m$ ?

Distinct lines $\ell$ and $m$ lie in the $xy$ -plane. They intersect at the origin. Point $P(-1, 4)$ is reflected about line $\ell$ to point $P',$ and then $P'$ is reflected about line $m$ to point $P''.$ The equation of line $\ell$ is $5x - y = 0,$ and the coordinates of $P''$ are $(4,1).$ What is the equation of line $m?$

$5x+2y=0$

$3x+2y=0$

$x-3y=0$

$2x-3y=0$

$5x-3y=0$

Conceptos:transformación pendiente identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Dos reflexiones a través de rectas que se cortan equivalen a una rotación.

Two reflections through intersecting lines equal a rotation

Pista grande:

Compara el cambio de ángulo de $(-1,4)$ a $(4,1)$ .

Compare the angle change from $(-1,4)$ to $(4,1)$

Solución:

Dos reflexiones sobre rectas que pasan por el origen equivalen a una rotación por el doble del ángulo que va de la primera recta de reflexión a la segunda.

El punto $(-1,4)$ se envía a $(4,1),$ lo cual es una rotación de $90^\circ$ en sentido horario. Por lo tanto, la recta $m$ está $45^\circ$ en sentido horario respecto a la recta $\ell.$

La pendiente de $\ell$ es $5.$ Si $\theta_m=\theta_\ell-45^\circ,$ entonces $\tan\theta_m=\frac{5-1}{1+5}=\frac23.$

Así, la recta $m$ es $y=\frac23x,$ o $2x-3y=0.$

Por lo tanto, la respuesta es D.

Two reflections across lines through the origin are equivalent to a rotation by twice the angle from the first reflecting line to the second.

The point $(-1,4)$ is sent to $(4,1),$ which is a $90^\circ$ clockwise rotation. Therefore line $m$ is $45^\circ$ clockwise from line $\ell.$

The slope of $\ell$ is $5.$ If $\theta_m=\theta_\ell-45^\circ,$ then $\tan\theta_m=\frac{5-1}{1+5}=\frac23.$

Thus line $m$ is $y=\frac23x,$ or $2x-3y=0.$

Thus, the answer is D .

18.

Tres hojas de papel cuadradas idénticas, cada una de lado $6$ , se apilan una sobre otra. La hoja del medio se gira $30^\circ$ en sentido horario alrededor de su centro y la hoja superior se gira $60^\circ$ en sentido horario alrededor de su centro, lo que da como resultado el polígono de $24$ lados que se muestra en la figura de abajo.

El área de este polígono se puede expresar en la forma $a-b\sqrt{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $a+b+c$ ?

Three identical square sheets of paper each with side length $6$ are stacked on top of each other. The middle sheet is rotated clockwise $30^\circ$ about its center and the top sheet is rotated clockwise $60^\circ$ about its center, resulting in the $24$ -sided polygon shown in the figure below.

The area of this polygon can be expressed in the form $a-b\sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, and $c$ is not divisible by the square of any prime. What is $a+b+c?$

$75$

$93$

$96$

$129$

$147$

Conceptos:descomposición de áreas transformación trigonometría

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Divide el polígono en $24$ triángulos congruentes.

Split the polygon into $24$ congruent triangles

Pista grande:

Cada triángulo pequeño tiene ángulos $15^\circ,45^\circ,120^\circ$ .

Each small triangle has angles $15^\circ,45^\circ,120^\circ$

Solución:

La frontera se puede dividir en $24$ triángulos congruentes. Cada uno tiene ángulos $15^\circ$ , $45^\circ$ y $120^\circ$ .

Para uno de esos triángulos, traza la altura en la dirección hacia el lado central. La altura es $3$ , la mitad del lado de un cuadrado. El triángulo rectángulo adyacente tiene un ángulo de $30^\circ$ , así que la parte recortada de una base de longitud $3$ es $3\tan30^\circ=\sqrt3$ .

Así, cada triángulo pequeño tiene base $3-\sqrt3$ y altura $3$ , lo que da área $\frac{3(3-\sqrt3)}{2}=\frac{9-3\sqrt3}{2}$ .

El área total es $24\cdot\frac{9-3\sqrt3}{2}=108-36\sqrt3.$ Por lo tanto $a+b+c=108+36+3=147$ .

Por lo tanto, la respuesta es E.

The boundary can be split into $24$ congruent triangles. Each has angles $15^\circ,$ $45^\circ,$ and $120^\circ.$

For one such triangle, draw the altitude from the center-side direction. The altitude is $3,$ half the side length of a square. The adjacent right triangle has a $30^\circ$ angle, so the part cut off from a length $3$ base is $3\tan30^\circ=\sqrt3.$

Thus each small triangle has base $3-\sqrt3$ and height $3,$ giving area $\frac{3(3-\sqrt3)}{2}=\frac{9-3\sqrt3}{2}.$

The total area is $24\cdot\frac{9-3\sqrt3}{2}=108-36\sqrt3.$ Hence $a+b+c=108+36+3=147.$

Thus, the answer is E .

19.

Sea $N$ el entero positivo $7777\ldots777,$ un número de $313$ dígitos donde cada dígito es un $7.$ Sea $f(r)$ el dígito inicial de la raíz $r$ -ésima de $N.$ ¿Cuánto vale $\begin{aligned} &f(2)+f(3)+f(4)\\ &\quad{}+f(5)+f(6)? \end{aligned}$

Let $N$ be the positive integer $7777\ldots777,$ a $313$ -digit number where each digit is a $7.$ Let $f(r)$ be the leading digit of the $r$ th root of $N.$ What is $\begin{aligned} &f(2)+f(3)+f(4)\\ &\quad{}+f(5)+f(6)? \end{aligned}$

$8$

$9$

$11$

$22$

$29$

Conceptos:dígitos exponente acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Acota $N$ entre $7\cdot10^{312}$ y $8\cdot10^{312}$ .

Bound $N$ between $7\cdot10^{312}$ and $8\cdot10^{312}$

Pista grande:

Para cada raíz, factoriza la mayor potencia de $10$ .

For each root, factor out the largest power of $10$

Solución:

El número $N$ satisface $7\cdot10^{312}\lt N\lt 8\cdot10^{312}.$ Multiplicar o dividir por una potencia de $10$ solo desplaza el punto decimal, así que solo necesitamos el factor inicial que queda después de extraer la mayor potencia conveniente de $10$ .

Para $r=2$ , $\sqrt N$ tiene factor inicial entre $\sqrt7$ y $\sqrt8$ , así que $f(2)=2$ .

Para $r=3$ , el factor inicial está entre $\sqrt[3]{7}$ y $\sqrt[3]{8}$ , así que $f(3)=1$ . Para $r=4$ , el factor inicial está entre $\sqrt[4]{7}$ y $\sqrt[4]{8}$ , así que $f(4)=1$ .

Para $r=5$ , como $312=5\cdot62+2$ , el factor inicial está entre $\sqrt[5]{700}$ y $\sqrt[5]{800}$ . Como $3^5\lt700\lt800\lt4^5$ , $f(5)=3$ .

Para $r=6$ , el factor inicial está entre $\sqrt[6]{7}$ y $\sqrt[6]{8}$ , así que $f(6)=1$ . La suma es $2+1+1+3+1=8$ .

Por lo tanto, la respuesta es A.

The number $N$ satisfies $7\cdot10^{312}\lt N\lt 8\cdot10^{312}.$ Multiplying or dividing by a power of $10$ only shifts the decimal point, so we only need the leading factor left after taking out the largest convenient power of $10.$

For $r=2,$ $\sqrt N$ has leading factor between $\sqrt7$ and $\sqrt8,$ so $f(2)=2.$

For $r=3,$ the leading factor is between $\sqrt[3]{7}$ and $\sqrt[3]{8},$ so $f(3)=1.$ For $r=4,$ the leading factor is between $\sqrt[4]{7}$ and $\sqrt[4]{8},$ so $f(4)=1.$

For $r=5,$ since $312=5\cdot62+2,$ the leading factor is between $\sqrt[5]{700}$ and $\sqrt[5]{800}.$ Since $3^5\lt700\lt800\lt4^5,$ $f(5)=3.$

For $r=6,$ the leading factor is between $\sqrt[6]{7}$ and $\sqrt[6]{8},$ so $f(6)=1.$ The sum is $2+1+1+3+1=8.$

Thus, the answer is A .

20.

En cierto juego, cada uno de los $4$ jugadores lanza un dado estándar de $6$ caras. El ganador es el jugador que saca el número más alto. Si hay un empate en el lanzamiento más alto, los involucrados en el empate vuelven a lanzar y este proceso continúa hasta que un jugador gana. Hugo es uno de los jugadores en este juego. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer lanzamiento de Hugo haya sido un $5,$ dado que ganó el juego?

In a particular game, each of $4$ players rolls a standard $6$ -sided die. The winner is the player who rolls the highest number. If there is a tie for the highest roll, those involved in the tie will roll again and this process will continue until one player wins. Hugo is one of the players in this game. What is the probability that Hugo’s first roll was a $5,$ given that he won the game?

$\dfrac{61}{216}$

$\dfrac{367}{1296}$

$\dfrac{41}{144}$

$\dfrac{185}{648}$

$\dfrac{11}{36}$

Conceptos:probabilidad condicional dados (probabilidad)análisis por casos simetría

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Usa la probabilidad condicional $P(Hugo\text{ sacó }5\mid Hugo\text{ gana})$ .

Use $P(Hugo\text{ rolled }5\mid Hugo\text{ wins})$

Pista grande:

Considera casos según cuántos otros jugadores también sacaron $5$ .

Case on how many other players also rolled $5$

Solución:

Por simetría, $P(\text{Hugo gana})=\frac14.$ Por lo tanto, la probabilidad condicional pedida es cuatro veces la probabilidad de que Hugo saque un $5$ en su primer lanzamiento y termine ganando.

Si Hugo saca $5,$ entonces ningún otro jugador puede sacar $6.$ Consideramos casos según cuántos de los otros tres jugadores también sacan $5.$ Si $t$ otros jugadores empatan con Hugo, entonces Hugo gana el desempate final con probabilidad $\frac1{t+1}.$

Así $\begin{gathered} P(\text{Hugo saca }5\text{ y gana})\\ {}=\frac{1}{6^4}\sum_{t=0}^3 \binom3t\frac{4^{3-t}}{t+1}\\ {}=\frac{64+24+4+\frac14}{6^4}\\ {}=\frac{369}{4\cdot1296}. \end{gathered}$

Al multiplicar por $4$ se obtiene $\frac{369}{1296}=\frac{41}{144}.$

Por lo tanto, la respuesta es C.

By symmetry, $P(\text{Hugo wins})=\frac14.$ Therefore, the requested conditional probability is four times the probability that Hugo first rolls $5$ and eventually wins.

If Hugo rolls $5,$ then no other player can roll $6.$ Case on how many of the other three players also roll $5.$ If $t$ other players tie Hugo, then Hugo wins the eventual tiebreaker with probability $\frac1{t+1}.$

Thus $\begin{gathered} P(\text{Hugo rolls }5\text{ and wins})\\ {}=\frac{1}{6^4}\sum_{t=0}^3 \binom3t\frac{4^{3-t}}{t+1}\\ {}=\frac{64+24+4+\frac14}{6^4}\\ {}=\frac{369}{4\cdot1296}. \end{gathered}$

Multiplying by $4$ gives $\frac{369}{1296}=\frac{41}{144}.$

Thus, the answer is C .

21.

Polígonos regulares de $5,$ $6,$ $7,$ y $8$ lados están inscritos en el mismo círculo. Ningún par de los polígonos comparte un vértice, y ningún trío de sus lados se corta en un punto común. ¿En cuántos puntos dentro del círculo se cortan dos de sus lados?

Regular polygons with $5,$ $6,$ $7,$ and $8$ sides are inscribed in the same circle. No two of the polygons share a vertex, and no three of their sides intersect at a common point. At how many points inside the circle do two of their sides intersect?

$52$

$56$

$60$

$64$

$68$

Conceptos:conteo de intersecciones polígono regular conteo de pares

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Cuenta las intersecciones por separado para cada par de polígonos.

Count intersections separately for each pair of polygons

Pista grande:

Un $k$ -ágono y un polígono regular más grande se cortan en $2k$ puntos de frontera.

A $k$ -gon and larger regular polygon intersect in $2k$ boundary points

Solución:

Para un $k$ -ágono regular y un $n$ -ágono regular inscritos en el mismo círculo con $k\lt n$ y sin vértices compartidos, sus fronteras se cortan en $2k$ puntos. Cada lado del polígono más pequeño es cruzado dos veces por la frontera del polígono más grande.

Por lo tanto, sumamos sobre todos los pares de polígonos. El $5$ -ágono contribuye $2\cdot5$ intersecciones con cada uno de los $6$ -, $7$ - y $8$ -ágonos. El $6$ -ágono contribuye $2\cdot6$ intersecciones con cada uno de los $7$ - y $8$ -ágonos. El $7$ -ágono contribuye $2\cdot7$ con el $8$ -ágono.

El total es $3(10)+2(12)+14=68.$

Por lo tanto, la respuesta es E.

For a regular $k$ -gon and a regular $n$ -gon inscribed in the same circle with $k\lt n$ and no shared vertices, their boundaries intersect in $2k$ points. Each side of the smaller polygon is crossed twice by the boundary of the larger polygon.

Therefore, sum over all pairs of polygons. The $5$ -gon contributes $2\cdot5$ intersections with each of the $6$ -, $7$ -, and $8$ -gons. The $6$ -gon contributes $2\cdot6$ intersections with each of the $7$ - and $8$ -gons. The $7$ -gon contributes $2\cdot7$ with the $8$ -gon.

The total is $3(10)+2(12)+14=68.$

Thus, the answer is E .

22.

Para cada entero $n\ge2,$ sea $S_n$ la suma de todos los productos $jk,$ donde $j$ y $k$ son enteros y $1\le j<k\le n.$ ¿Cuál es la suma de los $10$ menores valores de $n$ para los cuales $S_n$ es divisible entre $3$ ?

For each integer $n\ge2,$ let $S_n$ be the sum of all products $jk,$ where $j$ and $k$ are integers and $1\le j<k\le n.$ What is the sum of the $10$ least values of $n$ such that $S_n$ is divisible by $3?$

$\ 196$

$\ 197$

$\ 198$

$\ 199$

$\ 200$

Conceptos:aritmética modular sumatoria reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Halla cómo cambia $S_n$ cuando se agregan los términos con $k=n$ .

Find how $S_n$ changes when terms with $k=n$ are added

Pista grande:

Solo $n\equiv2\pmod3$ cambia el valor módulo $3$ .

Only $n\equiv2\pmod3$ changes the value modulo $3$

Solución:

Al pasar de $S_{n-1}$ a $S_n,$ los nuevos términos son $jn$ para $1\le j\lt n.$ $\begin{gathered} n(1+2+\cdots+(n-1))\\ =\frac{n^2(n-1)}2. \end{gathered}$

Módulo $3,$ este incremento es $0$ cuando $n\equiv0$ o $1\pmod3,$ y es $2$ cuando $n\equiv2\pmod3.$

Como $S_2=2,$ la sucesión se vuelve divisible entre $3$ tras la tercera aparición de un número congruente con $2\pmod3,$ es decir en $n=8.$ Entonces $S_n$ permanece divisible entre $3$ para $n=8,9,10,$ y el mismo patrón se repite cada $9$ en $n.$

Los diez menores valores son $8,9,10,17,18,19,26,27,28,35.$ Su suma es $197.$

Por lo tanto, la respuesta es B.

When passing from $S_{n-1}$ to $S_n,$ the new terms are $jn$ for $1\le j\lt n.$ Their sum is $\begin{gathered} n(1+2+\cdots+(n-1))\\ =\frac{n^2(n-1)}2. \end{gathered}$

Modulo $3,$ this increment is $0$ when $n\equiv0$ or $1\pmod3,$ and is $2$ when $n\equiv2\pmod3.$

Since $S_2=2,$ the sequence becomes divisible by $3$ after the third occurrence of a number congruent to $2\pmod3,$ namely at $n=8.$ Then $S_n$ stays divisible by $3$ for $n=8,9,10,$ and the same pattern repeats every $9$ in $n.$

The ten least values are $8,9,10,17,18,19,26,27,28,35.$ Their sum is $197.$

Thus, the answer is B .

23.

Cada uno de los $5$ lados y las $5$ diagonales de un pentágono regular se colorean al azar e independientemente de rojo o azul con igual probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que exista un triángulo cuyos vértices estén entre los vértices del pentágono tal que todos sus lados tengan el mismo color?

Each of the $5$ sides and the $5$ diagonals of a regular pentagon are randomly and independently colored red or blue with equal probability. What is the probability that there will be a triangle whose vertices are among the vertices of the pentagon such that all of its sides have the same color?

$\dfrac 23$

$\dfrac{105}{128}$

$\dfrac{125}{128}$

$\dfrac{253}{256}$

$1$

Conceptos:teoría de grafos probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Cuenta las coloraciones sin ningún triángulo monocromático.

Count the colorings with no monochromatic triangle

Pista grande:

En cada vértice, cada color debe aparecer en exactamente $2$ aristas incidentes.

At each vertex, each color must appear on exactly $2$ incident edges

Solución:

Contamos el complemento: las coloraciones de las $10$ aristas de $K_5$ sin ningún triángulo monocromático.

En cualquier vértice, si $3$ aristas incidentes tuvieran el mismo color, entonces las aristas entre sus otros extremos tendrían que ser todas del otro color, formando un triángulo monocromático. Así, cada vértice tiene exactamente $2$ aristas rojas y $2$ azules incidentes.

Entonces las aristas rojas forman un grafo $2$ -regular sobre $5$ vértices, que debe ser un $5$ -ciclo. El número de $5$ -ciclos etiquetados es $\frac{(5-1)!}{2}=12.$

Hay $2^{10}=1024$ coloraciones en total, así que la probabilidad buscada es $1-\frac{12}{1024}=\frac{253}{256}.$

Por lo tanto, la respuesta es D.

Count the complement: colorings of the $10$ edges of $K_5$ with no monochromatic triangle.

At any vertex, if $3$ incident edges had the same color, then the edges among their other endpoints would all have to be the other color, making a monochromatic triangle. Thus each vertex has exactly $2$ red and $2$ blue incident edges.

So the red edges form a $2$ -regular graph on $5$ vertices, which must be a $5$ -cycle. The number of labeled $5$ -cycles is $\frac{(5-1)!}{2}=12.$

There are $2^{10}=1024$ total colorings, so the desired probability is $1-\frac{12}{1024}=\frac{253}{256}.$

Thus, the answer is D .

24.

Un cubo se construye con $4$ cubos unitarios blancos y $4$ cubos unitarios azules. ¿De cuántas maneras diferentes se puede construir el cubo $2 \times 2 \times 2$ usando estos cubos más pequeños? (Dos construcciones se consideran iguales si una se puede rotar para coincidir con la otra.)

A cube is constructed from $4$ white unit cubes and $4$ blue unit cubes. How many different ways are there to construct the $2 \times 2 \times 2$ cube using these smaller cubes? (Two constructions are considered the same if one can be rotated to match the other.)

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:Lema de Burnside geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Este es el número de subconjuntos de $4$ vértices de un cubo salvo rotación.

This is the number of $4$ -vertex subsets of a cube up to rotation

Pista grande:

Burnside sobre las $24$ rotaciones del cubo.

Burnside over the $24$ rotations of the cube

Solución:

Este es el número de maneras de elegir cuáles $4$ de los $8$ vértices del cubo son azules, salvo rotación del cubo. Usamos el lema de Burnside sobre las $24$ rotaciones del cubo.

La identidad fija $\binom84=70$ coloraciones. Las $6$ rotaciones de un cuarto de vuelta sobre caras fijan cada una $2.$ Las $3$ rotaciones de media vuelta sobre caras fijan cada una $6.$ Las $8$ rotaciones alrededor de vértices opuestos fijan cada una $4.$ Las $6$ rotaciones de media vuelta alrededor de aristas opuestas fijan cada una $6.$

Así, el número de construcciones no equivalentes es $\begin{gathered} \frac{70+6\cdot2+3\cdot6+8\cdot4+6\cdot6}{24}\\ =7. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta es A.

This is the number of ways to choose which $4$ of the $8$ cube vertices are blue, up to cube rotation. Use Burnside’s lemma on the $24$ rotations of the cube.

The identity fixes $\binom84=70$ colorings. The $6$ quarter-turn face rotations each fix $2.$ The $3$ half-turn face rotations each fix $6.$ The $8$ rotations about opposite vertices each fix $4.$ The $6$ half-turn rotations about opposite edges each fix $6.$

Thus the number of inequivalent constructions is $\begin{gathered} \frac{70+6\cdot2+3\cdot6+8\cdot4+6\cdot6}{24}\\ =7. \end{gathered}$

Thus, the answer is A .

25.

Un rectángulo de lados $1$ y $3,$ un cuadrado de lado $1,$ y un rectángulo $R$ están inscritos dentro de un cuadrado más grande como se muestra. La suma de todos los valores posibles del área de $R$ se puede escribir en la forma $\tfrac mn,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m+n$ ?

A rectangle with side lengths $1$ and $3,$ a square with side length $1,$ and a rectangle $R$ are inscribed inside a larger square as shown. The sum of all possible values for the area of $R$ can be written in the form $\tfrac mn,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$14$

$23$

$46$

$59$

$67$

Conceptos:semejanza cuadrado (geometría)cuadrática

Nivel de dificultad: 2480

Pista pequeña:

Usa la pendiente del rectángulo $1\times3$ para plantear $x^2+(3x)^2=1$ .

Use the slope of the $1\times3$ rectangle to set $x^2+(3x)^2=1$

Pista grande:

La ecuación de triángulos semejantes se factoriza como $(m-3x)(m-4x)=0$ .

The similar-triangle equation factors as $(m-3x)(m-4x)=0$

Solución:

Usamos triángulos semejantes como se muestra en el diagrama. El lado izquierdo del cuadrado grande tiene longitud $4x+2y$ , y el lado inferior tiene longitud $3y+x$ . Como son iguales, $3y+x=4x+2y$ , así que $y=3x$ . Por lo tanto, el lado del cuadrado grande es $10x$ .

En la parte superior de la figura, sea $m$ el segmento horizontal marcado. Los dos triángulos rectángulos formados por los lados del rectángulo $R$ tienen lados correspondientes paralelos e hipotenusas iguales, así que son congruentes. Esto da las longitudes que se muestran a continuación.

Los triángulos semejantes dan $\frac{m}{3x}=\frac{4x-\frac m3}{6x-m}.$ Por lo tanto $6xm-m^2=12x^2-xm$ , así que $\begin{gathered} m^2-7xm+12x^2=0\\ =(m-3x)(m-4x). \end{gathered}$

Si $m=3x$ , el rectángulo $R$ tiene lado $3\sqrt2x$ en ambas direcciones, así que su área es $18x^2$ . Si $m=4x$ , sus lados son $5x$ y $\frac{10}{3}x$ , así que su área es $\frac{50}{3}x^2$ .

Las dos áreas posibles suman $\frac{104}{3}x^2$ . Como el rectángulo $1\times3$ da $x^2+(3x)^2=1$ , tenemos $x^2=\frac1{10}$ . La suma de las áreas posibles es $\frac{104}{3}\cdot\frac1{10}=\frac{52}{15}.$

Así $m+n=52+15=67$ , y la respuesta es E.

Use similar triangles as shown in the diagram. The left side of the large square has length $4x+2y,$ and the bottom side has length $3y+x.$ Since these are equal, $3y+x=4x+2y,$ so $y=3x.$ The side length of the large square is therefore $10x.$

In the upper part of the figure, let the marked horizontal segment be $m.$ The two right triangles formed by the sides of rectangle $R$ have parallel corresponding sides and equal hypotenuses, so they are congruent. This gives the lengths shown below.

Similar triangles give $\frac{m}{3x}=\frac{4x-\frac m3}{6x-m}.$ Hence $6xm-m^2=12x^2-xm,$ so $\begin{gathered} m^2-7xm+12x^2=0\\ =(m-3x)(m-4x). \end{gathered}$

If $m=3x,$ rectangle $R$ has side length $3\sqrt2x$ in both directions, so its area is $18x^2.$ If $m=4x,$ its side lengths are $5x$ and $\frac{10}{3}x,$ so its area is $\frac{50}{3}x^2.$

The two possible areas sum to $\frac{104}{3}x^2.$ Since the $1\times3$ rectangle gives $x^2+(3x)^2=1,$ we have $x^2=\frac1{10}.$ The sum of the possible areas is $\frac{104}{3}\cdot\frac1{10}=\frac{52}{15}.$

Thus $m+n=52+15=67,$ and the answer is E .