Question

En el trapecio $ABCD$ con bases $\overline{AB}$ y $\overline{CD},$ tenemos $AB=52,$ $BC=12,$ $CD=39,$ y $DA=5.$ El área de $ABCD$ es

In trapezoid $ABCD$ with bases $\overline{AB}$ and $\overline{CD},$ we have $AB=52,$ $BC=12,$ $CD=39,$ and $DA=5.$ The area of $ABCD$ is

$182$

$195$

$210$

$234$

$260$

Solución:

Extiende $DA$ y $CB$ hasta encontrarse en $P.$ Como $DC\parallel AB,$ $\triangle PDC\sim\triangle PAB$ con razón $\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}.$ De $\dfrac{PD}{PD+5}=\dfrac{3}{4}$ obtenemos $PD=15,$ y análogamente $PC=36.$

Entonces $PD:PC:DC=15:36:39$ $=3\cdot(5:12:13),$ así que $\angle P$ es un ángulo recto. El área de $ABCD$ es $\begin{gathered} \dfrac{1}{2}(PA)(PB) \\ {}-\dfrac{1}{2}(PD)(PC) \\ = \dfrac{1}{2}(20)(48) \\ {}-\dfrac{1}{2}(15)(36) \\ = 480-270=210. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Extend $DA$ and $CB$ to meet at $P.$ Since $DC\parallel AB,$ $\triangle PDC\sim\triangle PAB$ with ratio $\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}.$ From $\dfrac{PD}{PD+5}=\dfrac{3}{4}$ we get $PD=15,$ and similarly $PC=36.$

Then $PD:PC:DC=15:36:39$ $=3\cdot(5:12:13),$ so $\angle P$ is a right angle. The area of $ABCD$ is $\begin{gathered} \dfrac{1}{2}(PA)(PB) \\ {}-\dfrac{1}{2}(PD)(PC) \\ = \dfrac{1}{2}(20)(48) \\ {}-\dfrac{1}{2}(15)(36) \\ = 480-270=210. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años