Soluciones del 2002 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

La razón $\dfrac{10^{2000}+10^{2002}}{10^{2001}+10^{2001}}$ ¿a cuál de los siguientes números se aproxima más?

The ratio $\dfrac{10^{2000}+10^{2002}}{10^{2001}+10^{2001}}$ is closest to which of the following numbers?

$0.1$

$0.2$

$1$

$5$

$10$

Conceptos:exponente estimación

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Factoriza $10^{2000}$ del numerador.

Factor $10^{2000}$ out of the numerator

Pista grande:

El denominador es igual a $2\cdot 10^{2001}$ .

The denominator equals $2\cdot 10^{2001}$

Solución:

Al factorizar se obtiene $\dfrac{10^{2000}(1+100)}{2\cdot 10^{2001}}=\dfrac{101}{20}=5.05,$ que se aproxima más a $5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factoring gives $\dfrac{10^{2000}(1+100)}{2\cdot 10^{2001}}=\dfrac{101}{20}=5.05,$ which is closest to $5.$

Thus, the correct answer is D.

2.

Para los números no nulos $a,$ $b,$ y $c,$ se define $(a,b,c)=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}.$ Calcula $(2,12,9).$

For the nonzero numbers $a,$ $b,$ and $c,$ define $(a,b,c)=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}.$ Find $(2,12,9).$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:operación personalizada fracción

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Sustituye $a=2,$ $b=12,$ $c=9$ .

Substitute $a=2,$ $b=12,$ $c=9$

Pista grande:

Suma $\dfrac{2}{12}+\dfrac{12}{9}+\dfrac{9}{2}$ con un denominador común.

Add $\dfrac{2}{12}+\dfrac{12}{9}+\dfrac{9}{2}$ over a common denominator

Solución:

$\begin{aligned} (2,12,9) &= \dfrac{2}{12}+\dfrac{12}{9}+\dfrac{9}{2} \\ &= \dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{9}{2}. \end{aligned}$ Con denominador $6,$ esto es $\dfrac{1+8+27}{6}=\dfrac{36}{6}=6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

$\begin{aligned} (2,12,9) &= \dfrac{2}{12}+\dfrac{12}{9}+\dfrac{9}{2} \\ &= \dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{9}{2}. \end{aligned}$ Over a denominator of $6,$ this is $\dfrac{1+8+27}{6}=\dfrac{36}{6}=6.$

Thus, the correct answer is C.

3.

Según la convención estándar para la potenciación, $2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{16}=65{,}536.$ Si se cambia el orden en que se realizan las potencias, ¿cuántos otros valores son posibles?

According to the standard convention for exponentiation, $2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{16}=65{,}536.$ If the order in which the exponentiations are performed is changed, how many other values are possible?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:exponente orden de las operaciones enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1190

Pista pequeña:

Enumera las cinco maneras de agrupar con paréntesis una torre de cuatro $2$ .

List the five ways to parenthesize a tower of four $2$ ’s

Pista grande:

Cada agrupación da como resultado $2^{16}$ o $2^{8}$ .

Every grouping evaluates to either $2^{16}$ or $2^{8}$

Solución:

Hay cinco maneras de agrupar la torre con paréntesis. Tres de ellas, $(2^2)^{\left(2^2\right)},$ $\left(2^{\left(2^2\right)}\right)^2,$ y $\left(\left(2^2\right)^2\right)^2,$ valen todas $2^{8}=256.$ Las otras dos dan el valor estándar $2^{16}=65{,}536.$

Así pues, solo es posible un valor más, $256,$ además del estándar.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are five ways to parenthesize the tower. Three of them, $(2^2)^{\left(2^2\right)},$ $\left(2^{\left(2^2\right)}\right)^2,$ and $\left(\left(2^2\right)^2\right)^2,$ all equal $2^{8}=256.$ The other two both give the standard value $2^{16}=65{,}536.$

So exactly one other value, $256,$ is possible.

Thus, the correct answer is B.

4.

¿Para cuántos enteros positivos $m$ existe al menos un entero positivo $n$ tal que $m\cdot n\le m+n$ ?

For how many positive integers $m$ does there exist at least one positive integer $n$ such that $m\cdot n\le m+n?$

$4$

$6$

$9$

$12$

infinitos

infinitely many

Conceptos:desigualdad casos pequeños

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Prueba un valor positivo muy pequeño de $n$ .

Try a very small positive value of $n$

Pista grande:

Comprueba si la desigualdad resultante impone alguna cota superior a $m$ .

See whether the resulting inequality places any upper bound on $m$

Solución:

Toma $n=1.$ Entonces $m\cdot 1\le m+1$ se convierte en $m\le m+1,$ que se cumple para todo entero positivo $m.$

Así que todo entero positivo $m$ funciona, lo que da infinitos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Take $n=1.$ Then $m\cdot 1\le m+1$ becomes $m\le m+1,$ which holds for every positive integer $m.$

So every positive integer $m$ works, giving infinitely many.

Thus, the correct answer is E.

5.

Cada uno de los círculos pequeños de la figura tiene radio uno. El círculo más interno es tangente a los seis círculos que lo rodean, y cada uno de esos círculos es tangente al círculo grande y a sus círculos pequeños vecinos. Halla el área de la región sombreada.

Each of the small circles in the figure has radius one. The innermost circle is tangent to the six circles that surround it, and each of those circles is tangent to the large circle and to its small-circle neighbors. Find the area of the shaded region.

$\pi$

$1.5\pi$

$2\pi$

$3\pi$

$3.5\pi$

Conceptos:circunferencias tangentes área del círculo

Nivel de dificultad: 1060

Pista pequeña:

El radio grande abarca el círculo central más dos radios adicionales.

The large radius spans the center circle plus two more radii

Pista grande:

Resta los siete círculos unitarios del círculo grande.

Subtract the seven unit circles from the large circle

Solución:

El centro de uno de los círculos que rodean al central está a $2$ del centro (dos radios), y al sumar su propio radio $1$ se obtiene un radio grande de $3.$

El círculo grande tiene área $9\pi,$ y los siete círculos unitarios tienen área total $7\pi,$ así que la región sombreada es $9\pi-7\pi=2\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The center of a surrounding circle is $2$ from the center (two radii), and adding its own radius $1$ gives a large radius of $3.$

The large circle has area $9\pi,$ and the seven unit circles have total area $7\pi,$ so the shaded region is $9\pi-7\pi=2\pi.$

Thus, the correct answer is C.

6.

La maestra le pidió a Cindy que restara $3$ a cierto número y luego dividiera el resultado entre $9.$ En cambio, ella restó $9$ y luego dividió el resultado entre $3,$ obteniendo una respuesta de $43.$ ¿Cuál habría sido su respuesta si hubiera resuelto el problema correctamente?

Cindy was asked by her teacher to subtract $3$ from a certain number and then divide the result by $9.$ Instead, she subtracted $9$ and then divided the result by $3,$ giving an answer of $43.$ What would her answer have been had she worked the problem correctly?

$15$

$34$

$43$

$51$

$138$

Conceptos:ecuación lineal trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Recupera el número original a partir de los pasos incorrectos de Cindy.

Recover the original number from Cindy’s incorrect steps

Pista grande:

Resuelve $\dfrac{x-9}{3}=43$ .

Solve $\dfrac{x-9}{3}=43$

Solución:

Sea $x$ el número. Cindy calculó $\dfrac{x-9}{3}=43,$ así que $x-9=129$ y $x=138.$

El cálculo correcto es $\dfrac{138-3}{9}=\dfrac{135}{9}=15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $x$ be the number. Cindy computed $\dfrac{x-9}{3}=43,$ so $x-9=129$ and $x=138.$

The correct computation is $\dfrac{138-3}{9}=\dfrac{135}{9}=15.$

Thus, the correct answer is A.

7.

Si un arco de $45^\circ$ en el círculo $A$ tiene la misma longitud que un arco de $30^\circ$ en el círculo $B,$ entonces la razón entre el área del círculo $A$ y el área del círculo $B$ es

If an arc of $45^\circ$ on circle $A$ has the same length as an arc of $30^\circ$ on circle $B,$ then the ratio of the area of circle $A$ to the area of circle $B$ is

$\dfrac{4}{9}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{5}{6}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{9}{4}$

Conceptos:arco razón de áreas razón y proporción

Nivel de dificultad: 1190

Pista pequeña:

La longitud de arco es $\dfrac{\theta}{360}\cdot 2\pi r$ .

Arc length is $\dfrac{\theta}{360}\cdot 2\pi r$

Pista grande:

Longitudes de arco iguales dan la razón $\dfrac{r_A}{r_B}$ .

Equal arc lengths give the ratio $\dfrac{r_A}{r_B}$

Solución:

Longitudes de arco iguales dan $\dfrac{45}{360}\cdot 2\pi r_A=\dfrac{30}{360}\cdot 2\pi r_B,$ así que $45 r_A=30 r_B$ y $\dfrac{r_A}{r_B}=\dfrac{2}{3}.$

La razón entre las áreas es $\left(\dfrac{r_A}{r_B}\right)^2=\dfrac{4}{9}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Equal arc lengths give $\dfrac{45}{360}\cdot 2\pi r_A=\dfrac{30}{360}\cdot 2\pi r_B,$ so $45 r_A=30 r_B$ and $\dfrac{r_A}{r_B}=\dfrac{2}{3}.$

The ratio of areas is $\left(\dfrac{r_A}{r_B}\right)^2=\dfrac{4}{9}.$

Thus, the correct answer is A.

8.

Betsy diseñó una bandera usando triángulos azules, pequeños cuadrados blancos y un cuadrado rojo central, como se muestra. Sea $B$ el área total de los triángulos azules, $W$ el área total de los cuadrados blancos y $R$ el área del cuadrado rojo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

Betsy designed a flag using blue triangles, small white squares, and a red center square, as shown. Let $B$ be the total area of the blue triangles, $W$ the total area of the white squares, and $R$ the area of the red square. Which of the following is correct?

$B=W$

$W=R$

$B=R$

$3B=2R$

$2R=W$

Conceptos:descomposición de áreas congruencia (geometría)

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Corta toda la bandera en triángulos rectángulos congruentes.

Cut the whole flag into congruent right triangles

Pista grande:

Cuenta cuántos de esos triángulos congruentes rellenan cada color.

Count how many of those congruent triangles fill each color

Solución:

Divide la bandera en triángulos rectángulos congruentes trazando las líneas de la cuadrícula y las diagonales. Al contar se obtienen $24$ triángulos en la región azul, $24$ en la región blanca y $16$ en la región roja.

De aquí que $B=W.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Divide the flag into congruent right triangles by drawing the grid lines and diagonals. Counting gives $24$ triangles in the blue region, $24$ in the white region, and $16$ in the red region.

Hence $B=W.$

Thus, the correct answer is A.

9.

Supón que $A,$ $B,$ y $C$ son tres números para los cuales $1001C-2002A=4004$ y $1001B+3003A=5005.$ El promedio de los tres números $A,$ $B,$ y $C$ es

Suppose $A,$ $B,$ and $C$ are three numbers for which $1001C-2002A=4004$ and $1001B+3003A=5005.$ The average of the three numbers $A,$ $B,$ and $C$ is

$1$

$3$

$6$

$9$

no está determinado de forma única

not uniquely determined

Conceptos:sistema de ecuaciones media

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Suma las dos ecuaciones.

Add the two equations together

Pista grande:

La suma se reduce a un múltiplo de $A+B+C$ .

The sum collapses to a multiple of $A+B+C$

Solución:

Al sumar las ecuaciones, $\begin{gathered} 1001C-2002A+1001B \\ {}+3003A \\ = 1001A+1001B+1001C \\ = 9009. \end{gathered}$

Así que $A+B+C=9$ y el promedio es $\dfrac{9}{3}=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Adding the equations, $\begin{gathered} 1001C-2002A+1001B \\ {}+3003A \\ = 1001A+1001B+1001C \\ = 9009. \end{gathered}$

So $A+B+C=9$ and the average is $\dfrac{9}{3}=3.$

Thus, the correct answer is B.

10.

Calcula la suma de todas las raíces de $(2x+3)(x-4)$ $+(2x+3)(x-6)=0.$

Compute the sum of all the roots of $(2x+3)(x-4)$ $+(2x+3)(x-6)=0.$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

$5$

$7$

$13$

Conceptos:cuadrática factorización

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Factoriza el término común $(2x+3)$ .

Factor out the common $(2x+3)$

Pista grande:

Combina $(x-4)+(x-6)$ dentro del corchete.

Combine $(x-4)+(x-6)$ inside the bracket

Solución:

Al factorizar, $\begin{gathered} (2x+3)\left[(x-4)+(x-6)\right] \\ = (2x+3)(2x-10) \\ = 0. \end{gathered}$

Las raíces son $-\dfrac{3}{2}$ y $5,$ cuya suma es $\dfrac{7}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Factoring, $\begin{gathered} (2x+3)\left[(x-4)+(x-6)\right] \\ = (2x+3)(2x-10) \\ = 0. \end{gathered}$

The roots are $-\dfrac{3}{2}$ and $5,$ which sum to $\dfrac{7}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

11.

Jamal quiere guardar $30$ archivos de computadora en disquetes, cada uno con una capacidad de $1.44$ megabytes (mb). Tres de sus archivos requieren $0.8$ mb de memoria cada uno, otros $12$ requieren $0.7$ mb cada uno, y los $15$ restantes requieren $0.4$ mb cada uno. Ningún archivo puede dividirse entre disquetes. ¿Cuál es el número mínimo de disquetes que contendrá todos los archivos?

Jamal wants to store $30$ computer files on floppy disks, each of which has a capacity of $1.44$ megabytes (mb). Three of his files require $0.8$ mb of memory each, $12$ more require $0.7$ mb each, and the remaining $15$ require $0.4$ mb each. No file can be split between floppy disks. What is the minimal number of floppy disks that will hold all the files?

$12$

$13$

$14$

$15$

$16$

Conceptos:optimización acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Un archivo de $0.8$ mb deja espacio para solo un archivo de $0.4$ mb en su disquete

A $0.8$ mb file leaves room for only one $0.4$ mb file on its disk

Pista grande:

Ten en cuenta el espacio desperdiciado en los tres disquetes con archivos de $0.8$ mb, y luego construye un empaquetado que alcance la cota

Account for the wasted space on the three $0.8$ mb disks, then build a packing that reaches the bound

Solución:

Los archivos necesitan $3(0.8)+12(0.7)+15(0.4)$ $=16.8$ mb. En cualquier disquete que contenga un archivo de $0.8$ mb, solo cabe junto a él un archivo de $0.4$ mb (ya que $0.8+0.7\gt 1.44$ ), dejando al menos $0.24$ mb desperdiciados. En los tres disquetes de ese tipo eso suma al menos $0.72$ mb, así que la demanda efectiva es al menos $16.8+0.72=17.52$ mb, lo que requiere al menos $\left\lceil\dfrac{17.52}{1.44}\right\rceil=13$ disquetes.

Esto es alcanzable: $3$ disquetes contienen cada uno un archivo de $0.8$ y uno de $0.4$ , $6$ disquetes contienen cada uno dos archivos de $0.7$ , y $4$ disquetes contienen cada uno tres archivos de $0.4$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The files need $3(0.8)+12(0.7)+15(0.4)$ $=16.8$ mb. On any disk holding a $0.8$ mb file, only one $0.4$ mb file fits alongside it (since $0.8+0.7\gt 1.44$ ), leaving at least $0.24$ mb wasted. Across the three such disks that is at least $0.72$ mb, so the effective demand is at least $16.8+0.72=17.52$ mb, requiring at least $\left\lceil\dfrac{17.52}{1.44}\right\rceil=13$ disks.

This is achievable: $3$ disks each hold one $0.8$ file and one $0.4$ file, $6$ disks each hold two $0.7$ files, and $4$ disks each hold three $0.4$ files.

Thus, the correct answer is B.

12.

El señor Earl E. Bird sale de su casa hacia el trabajo exactamente a las $8{:}00$ a. m. cada mañana. Cuando conduce a una velocidad media de $40$ millas por hora, llega tres minutos tarde. Cuando conduce a una velocidad media de $60$ millas por hora, llega tres minutos temprano. ¿A qué velocidad media, en millas por hora, debe conducir el señor Bird para llegar exactamente a tiempo?

Mr. Earl E. Bird leaves his house for work at exactly $8{:}00$ A.M. every morning. When he averages $40$ miles per hour, he arrives at his workplace three minutes late. When he averages $60$ miles per hour, he arrives three minutes early. At what average speed, in miles per hour, should Mr. Bird drive to arrive at his workplace precisely on time?

$45$

$48$

$50$

$55$

$58$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Sea $t$ el tiempo de viaje para llegar a tiempo, en horas; tres minutos son $0.05$ horas

Let $t$ be the on-time travel time in hours; three minutes is $0.05$ hours

Pista grande:

La distancia es la misma en ambos casos: $40(t+0.05)=60(t-0.05)$

The distance is the same both ways: $40(t+0.05)=60(t-0.05)$

Solución:

Sea $t$ el tiempo de viaje a tiempo, en horas. Como $3$ minutos son $0.05$ horas, $40(t+0.05)=60(t-0.05).$ Entonces $40t+2=60t-3,$ así que $t=0.25.$

La distancia es $40(0.30)=12$ millas, así que la velocidad requerida es $\dfrac{12}{0.25}=48$ mph.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $t$ hours be the on-time travel time. Since $3$ minutes is $0.05$ hours, $40(t+0.05)=60(t-0.05).$ Then $40t+2=60t-3,$ so $t=0.25.$

The distance is $40(0.30)=12$ miles, so the required speed is $\dfrac{12}{0.25}=48$ mph.

Thus, the correct answer is B.

13.

Los lados de un triángulo tienen longitudes $15,$ $20,$ y $25.$ Halla la longitud de la altura más corta.

The sides of a triangle have lengths of $15,$ $20,$ and $25.$ Find the length of the shortest altitude.

$6$

$12$

$12.5$

$13$

$15$

Conceptos:triángulo rectángulo altura área del triángulo

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Comprueba si $15,$ $20,$ $25$ forman un triángulo rectángulo.

Check whether $15,$ $20,$ $25$ is a right triangle

Pista grande:

La altura más corta se traza hacia el lado más largo.

The shortest altitude is drawn to the longest side

Solución:

Como $15^2+20^2=225+400$ $=625=25^2,$ el triángulo es rectángulo con catetos $15$ y $20,$ y área $\dfrac{1}{2}(15)(20)=150.$

La altura más corta cae sobre el lado más largo $25,$ y es igual a $\dfrac{2\cdot 150}{25}=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $15^2+20^2=225+400$ $=625=25^2,$ the triangle is right with legs $15$ and $20,$ and area $\dfrac{1}{2}(15)(20)=150.$

The shortest altitude falls to the longest side $25,$ and equals $\dfrac{2\cdot 150}{25}=12.$

Thus, the correct answer is B.

14.

Ambas raíces de la ecuación cuadrática $x^2-63x+k=0$ son números primos. El número de valores posibles de $k$ es

Both roots of the quadratic equation $x^2-63x+k=0$ are prime numbers. The number of possible values of $k$ is

$0$

$1$

$2$

$4$

más de cuatro

more than four

Conceptos:Fórmulas de Vieta primo paridad

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Las raíces suman $63$ y su producto es $k$ .

The roots sum to $63$ and multiply to $k$

Pista grande:

Una suma impar de dos primos obliga a que uno de ellos sea $2$ .

An odd sum of two primes forces one of them to be $2$

Solución:

Si las raíces son los primos $p$ y $q,$ entonces $p+q=63$ y $pq=k.$ Como $63$ es impar, uno de los primos debe ser $2,$ haciendo que el otro sea $61,$ que es primo.

Así que $k=2\cdot 61=122$ es el único valor posible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the roots are primes $p$ and $q,$ then $p+q=63$ and $pq=k.$ Because $63$ is odd, one prime must be $2,$ making the other $61,$ which is prime.

So $k=2\cdot 61=122$ is the only possible value.

Thus, the correct answer is B.

15.

Los dígitos $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ y $9$ se usan para formar cuatro números primos de dos dígitos, usando cada dígito exactamente una vez. ¿Cuál es la suma de estos cuatro primos?

The digits $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ and $9$ are used to form four two-digit prime numbers, with each digit used exactly once. What is the sum of these four primes?

$150$

$160$

$170$

$180$

$190$

Conceptos:primo dígitos valor posicional

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Un primo de dos dígitos no puede terminar en $2,$ $4,$ $5,$ o $6$ .

A two-digit prime cannot end in $2,$ $4,$ $5,$ or $6$

Pista grande:

Por lo tanto, esos cuatro dígitos deben ser los de las decenas.

Those four digits must therefore be the tens digits

Solución:

Un primo de dos dígitos no puede terminar en $2,$ $4,$ $5,$ o $6,$ así que estos cuatro son los dígitos de las decenas y $1,$ $3,$ $7,$ y $9$ son los de las unidades.

La suma es $10(2+4+5+6)$ $+(1+3+7+9)$ $=170+20=190.$ Un conjunto válido es $\{23,47,59,61\}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

A two-digit prime cannot end in $2,$ $4,$ $5,$ or $6,$ so these four are the tens digits and $1,$ $3,$ $7,$ and $9$ are the units digits.

The sum is $10(2+4+5+6)$ $+(1+3+7+9)$ $=170+20=190.$ One valid set is $\{23,47,59,61\}.$

Thus, the correct answer is E.

16.

Si $a+1$ $=b+2$ $=c+3$ $=d+4$ $=a+b+c+d+5,$ entonces $a+b+c+d$ es

If $a+1$ $=b+2$ $=c+3$ $=d+4$ $=a+b+c+d+5,$ then $a+b+c+d$ is

$-5$

$-\dfrac{10}{3}$

$-\dfrac{7}{3}$

$\dfrac{5}{3}$

$5$

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 1330

Pista pequeña:

Iguala todas las expresiones a un único valor $k$ .

Set every expression equal to a single value $k$

Pista grande:

Escribe $a,$ $b,$ $c,$ $d$ en términos de $k$ y súmalos.

Write $a,$ $b,$ $c,$ $d$ in terms of $k$ and add them

Solución:

Sea el valor común igual a $k.$ Entonces $a=k-1,$ $b=k-2,$ $c=k-3,$ $d=k-4,$ así que $a+b+c+d=4k-10.$

Como $a+b+c+d+5=k,$ obtenemos $4k-10+5=k,$ así que $3k=5$ y $k=\dfrac{5}{3}.$ Entonces $a+b+c+d=k-5$ $=\dfrac{5}{3}-5=-\dfrac{10}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the common value be $k.$ Then $a=k-1,$ $b=k-2,$ $c=k-3,$ $d=k-4,$ so $a+b+c+d=4k-10.$

Since $a+b+c+d+5=k,$ we get $4k-10+5=k,$ so $3k=5$ and $k=\dfrac{5}{3}.$ Then $a+b+c+d=k-5$ $=\dfrac{5}{3}-5=-\dfrac{10}{3}.$

Thus, the correct answer is B.

17.

Sarah vierte cuatro onzas de café en una taza de ocho onzas y cuatro onzas de crema en una segunda taza del mismo tamaño. Luego transfiere la mitad del café de la primera taza a la segunda y, después de revolver bien, transfiere la mitad del líquido de la segunda taza de vuelta a la primera. ¿Qué fracción del líquido de la primera taza es ahora crema?

Sarah pours four ounces of coffee into an eight-ounce cup and four ounces of cream into a second cup of the same size. She then transfers half the coffee from the first cup to the second and, after stirring thoroughly, transfers half the liquid in the second cup back to the first. What fraction of the liquid in the first cup is now cream?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:mezcla simulación de procesos

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Lleva la cuenta de las onzas de café y crema después de cada transferencia.

Track ounces of coffee and cream after each transfer

Pista grande:

La segunda taza está mezclada uniformemente antes de la segunda transferencia.

The second cup is uniformly mixed before the second transfer

Solución:

Después de transferir $2$ oz de café, la taza $1$ tiene $2$ oz de café y la taza $2$ tiene $2$ oz de café más $4$ oz de crema, un total de $6$ oz.

Transferir de vuelta la mitad de la taza $2$ (es decir $3$ oz, que consisten en $1$ oz de café y $2$ oz de crema) deja la taza $1$ con $3$ oz de café y $2$ oz de crema. La fracción que es crema es $\dfrac{2}{2+3}=\dfrac{2}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

After transferring $2$ oz of coffee, cup $1$ has $2$ oz coffee and cup $2$ has $2$ oz coffee plus $4$ oz cream, a total of $6$ oz.

Transferring back half of cup $2$ (that is $3$ oz, consisting of $1$ oz coffee and $2$ oz cream) leaves cup $1$ with $3$ oz coffee and $2$ oz cream. The fraction that is cream is $\dfrac{2}{2+3}=\dfrac{2}{5}.$

Thus, the correct answer is D.

18.

Un cubo $3\times 3\times 3$ se forma pegando $27$ dados cúbicos estándar. (En un dado estándar, la suma de los números en cualquier par de caras opuestas es $7.$ ) La menor suma posible de todos los números visibles en la superficie del cubo $3\times 3\times 3$ es

A $3\times 3\times 3$ cube is formed by gluing together $27$ standard cubical dice. (On a standard die, the sum of the numbers on any pair of opposite faces is $7.$ ) The smallest possible sum of all the numbers showing on the surface of the $3\times 3\times 3$ cube is

$60$

$72$

$84$

$90$

$96$

Conceptos:geometría del cubo optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Clasifica los $27$ dados como dados de esquina, de arista, de centro de cara e interiores.

Classify the $27$ dice as corner, edge, face-center, and interior dice

Pista grande:

Minimiza las caras visibles de cada dado: las esquinas muestran $1+2+3,$ las aristas muestran $1+2,$ los centros de cara muestran $1$ .

Minimize each die’s showing faces: corners show $1+2+3,$ edges show $1+2,$ face-centers show $1$

Solución:

Los $8$ dados de esquina muestran $3$ caras cada uno, minimizadas en $1+2+3=6,$ contribuyendo $8\cdot 6=48.$ Los $12$ dados de arista muestran $2$ caras, minimizadas en $1+2=3,$ contribuyendo $12\cdot 3=36.$

Los $6$ dados de centro de cara muestran $1$ cara, minimizada en $1,$ contribuyendo $6,$ y el dado interior oculto contribuye $0.$ El total es $48+36+6=90.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The $8$ corner dice show $3$ faces each, minimized at $1+2+3=6,$ contributing $8\cdot 6=48.$ The $12$ edge dice show $2$ faces, minimized at $1+2=3,$ contributing $12\cdot 3=36.$

The $6$ face-center dice show $1$ face, minimized at $1,$ contributing $6,$ and the hidden interior die contributes $0.$ The total is $48+36+6=90.$

Thus, the correct answer is D.

19.

La casa del perro Spot tiene una base hexagonal regular que mide una yarda por lado. Está atado a un vértice con una cuerda de dos yardas. ¿Cuál es el área, en yardas cuadradas, de la región fuera de la casa que Spot puede alcanzar?

Spot’s doghouse has a regular hexagonal base that measures one yard on each side. He is tethered to a vertex with a two-yard rope. What is the area, in square yards, of the region outside the doghouse that Spot can reach?

$\dfrac{2}{3}\pi$

$2\pi$

$\dfrac{5}{2}\pi$

$\dfrac{8}{3}\pi$

$3\pi$

Conceptos:sector circular polígono regular área del círculo

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

El ángulo interior de un hexágono regular es $120^\circ,$ así que Spot barre $240^\circ$ con radio $2$ .

The interior angle of a regular hexagon is $120^\circ,$ so Spot sweeps $240^\circ$ at radius $2$

Pista grande:

Alrededor de cada vértice adyacente, el tramo restante de $1$ yarda de cuerda barre un sector de $60^\circ$ .

Around each adjacent vertex the leftover $1$ yard of rope sweeps a $60^\circ$ sector

Solución:

En el vértice de amarre, el hexágono bloquea su ángulo interior de $120^\circ$ , dejando un sector de $240^\circ$ de radio $2:$ área $\dfrac{240}{360}\pi(2)^2=\dfrac{8\pi}{3}.$

Al rodear cada uno de los dos vértices adyacentes, queda $1$ yarda de cuerda que barre un sector de $60^\circ$ : $2\cdot\dfrac{60}{360}\pi(1)^2=\dfrac{\pi}{3}.$ El total es $\dfrac{8\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=3\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

At the tether vertex the hexagon blocks its $120^\circ$ interior angle, leaving a $240^\circ$ sector of radius $2:$ area $\dfrac{240}{360}\pi(2)^2=\dfrac{8\pi}{3}.$

Wrapping around each of the two adjacent vertices, $1$ yard of rope remains and sweeps a $60^\circ$ sector: $2\cdot\dfrac{60}{360}\pi(1)^2=\dfrac{\pi}{3}.$ The total is $\dfrac{8\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=3\pi.$

Thus, the correct answer is E.

20.

Los puntos $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ y $F$ están, en ese orden, sobre $\overline{AF},$ dividiéndolo en cinco segmentos, cada uno de longitud $1.$ El punto $G$ no está sobre la recta $AF.$ El punto $H$ está sobre $\overline{GD},$ y el punto $J$ está sobre $\overline{GF}.$ Los segmentos $\overline{HC},$ $\overline{JE},$ y $\overline{AG}$ son paralelos. Halla $\frac{HC}{JE}.$

Points $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ and $F$ lie, in that order, on $\overline{AF},$ dividing it into five segments, each of length $1.$ Point $G$ is not on line $AF.$ Point $H$ lies on $\overline{GD},$ and point $J$ lies on $\overline{GF}.$ The line segments $\overline{HC},$ $\overline{JE},$ and $\overline{AG}$ are parallel. Find $\frac{HC}{JE}.$

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$2$

Conceptos:semejanza rectas paralelas

Nivel de dificultad: 1460

Pista pequeña:

$\triangle DHC\sim\triangle DGA$ da $HC$ en términos de $AG$ .

$\triangle DHC\sim\triangle DGA$ gives $HC$ in terms of $AG$

Pista grande:

$\triangle FJE\sim\triangle FGA$ da $JE$ en términos de $AG$ .

$\triangle FJE\sim\triangle FGA$ gives $JE$ in terms of $AG$

Solución:

Como $HC\parallel AG,$ $\triangle DHC\sim\triangle DGA,$ así que $\dfrac{HC}{AG}=\dfrac{DC}{DA}=\dfrac{1}{3},$ dando $HC=\dfrac{AG}{3}.$

Como $JE\parallel AG,$ $\triangle FJE\sim\triangle FGA,$ así que $\dfrac{JE}{AG}=\dfrac{FE}{FA}=\dfrac{1}{5},$ dando $JE=\dfrac{AG}{5}.$

En consecuencia $\dfrac{HC}{JE}=\dfrac{\frac{AG}{3}}{\frac{AG}{5}}=\dfrac{5}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $HC\parallel AG,$ $\triangle DHC\sim\triangle DGA,$ so $\dfrac{HC}{AG}=\dfrac{DC}{DA}=\dfrac{1}{3},$ giving $HC=\dfrac{AG}{3}.$

Since $JE\parallel AG,$ $\triangle FJE\sim\triangle FGA,$ so $\dfrac{JE}{AG}=\dfrac{FE}{FA}=\dfrac{1}{5},$ giving $JE=\dfrac{AG}{5}.$

Therefore $\dfrac{HC}{JE}=\dfrac{\frac{AG}{3}}{\frac{AG}{5}}=\dfrac{5}{3}.$

Thus, the correct answer is D.

21.

La media, la mediana, la moda única y el rango de una colección de ocho enteros son todos iguales a $8.$ El mayor entero que puede ser elemento de esta colección es

The mean, median, unique mode, and range of a collection of eight integers are all equal to $8.$ The largest integer that can be an element of this collection is

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Conceptos:media mediana (datos)moda argumento extremal

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Los ocho enteros suman $64,$ y un rango de $8$ vincula el mayor con el menor.

The eight integers sum to $64,$ and a range of $8$ ties the largest and smallest together

Pista grande:

Prueba los valores candidatos más grandes, manteniendo tanto la mediana como la moda única iguales a $8$ .

Test the largest candidate values while keeping both the median and unique mode equal to $8$

Solución:

La suma es $8\cdot 8=64.$ La colección $6,$ $6,$ $6,$ $8,$ $8,$ $8,$ $8,$ $14$ tiene media, mediana, moda única y rango iguales a $8,$ así que $14$ es alcanzable.

Si el mayor fuera por lo menos $16,$ el rango obligaría a que el menor fuera al menos $8.$ Una media de $8$ obligaría entonces a que los ocho enteros fueran $8,$ contradiciendo el rango.

Si el mayor fuera $15,$ el rango $8$ obligaría a que el menor fuera $7,$ así que los ocho enteros serían al menos $7.$ Los otros siete sumarían $64-15=49=7\cdot 7,$ lo que obliga a que todos sean $7.$ Pero entonces la mediana y la moda serían $7,$ no $8,$ una contradicción.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The sum is $8\cdot 8=64.$ The collection $6,$ $6,$ $6,$ $8,$ $8,$ $8,$ $8,$ $14$ has mean, median, unique mode, and range all equal to $8,$ so $14$ is attainable.

If the largest were at least $16,$ the range condition would make the smallest at least $8.$ A mean of $8$ would then force all eight integers to equal $8,$ contradicting the range.

If the largest were $15,$ the range $8$ forces the smallest to be $7,$ so all eight integers are at least $7.$ The other seven then sum to $64-15=49=7\cdot 7,$ forcing every one of them to equal $7.$ But then the median and mode would be $7,$ not $8,$ a contradiction.

Thus, the correct answer is D.

22.

Un conjunto de fichas numeradas del $1$ al $100$ se modifica repetidamente mediante la siguiente operación: se quitan todas las fichas numeradas con un cuadrado perfecto, y se renumeran las fichas restantes de forma consecutiva empezando por $1.$ ¿Cuántas veces debe realizarse la operación para reducir el número de fichas del conjunto a una?

A set of tiles numbered $1$ through $100$ is modified repeatedly by the following operation: remove all tiles numbered with a perfect square, and renumber the remaining tiles consecutively starting with $1.$ How many times must the operation be performed to reduce the number of tiles in the set to one?

$10$

$11$

$18$

$19$

$20$

Conceptos:cuadrado perfecto recursión reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Quitar los cuadrados perfectos de $n^2$ fichas deja $n^2-n$ fichas.

Removing the perfect squares from $n^2$ tiles leaves $n^2-n$ tiles

Pista grande:

Dos operaciones reducen $n^2$ fichas a $(n-1)^2$ .

Two operations take $n^2$ tiles down to $(n-1)^2$

Solución:

Partiendo de $n^2$ fichas, una operación quita los $n$ cuadrados perfectos, dejando $n^2-n.$ La siguiente operación quita $n-1$ cuadrados perfectos, dejando $n^2-n-(n-1)=(n-1)^2.$

Así que cada dos operaciones reducen $n^2$ a $(n-1)^2.$ Ir de $10^2=100$ hasta $1^2=1$ requiere $2(10-1)=18$ operaciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Starting from $n^2$ tiles, one operation removes the $n$ perfect squares, leaving $n^2-n.$ The next operation removes $n-1$ perfect squares, leaving $n^2-n-(n-1)=(n-1)^2.$

So every two operations reduce $n^2$ to $(n-1)^2.$ Going from $10^2=100$ down to $1^2=1$ takes $2(10-1)=18$ operations.

Thus, the correct answer is C.

23.

Los puntos $A,$ $B,$ $C,$ y $D$ están sobre una recta, en ese orden, con $AB=CD$ y $BC=12.$ El punto $E$ no está sobre la recta, y $BE=CE=10.$ El perímetro de $\triangle AED$ es el doble del perímetro de $\triangle BEC.$ Halla $AB.$

Points $A,$ $B,$ $C,$ and $D$ lie on a line, in that order, with $AB=CD$ and $BC=12.$ Point $E$ is not on the line, and $BE=CE=10.$ The perimeter of $\triangle AED$ is twice the perimeter of $\triangle BEC.$ Find $AB.$

$\dfrac{15}{2}$

$8$

$\dfrac{17}{2}$

$9$

$\dfrac{19}{2}$

Conceptos:triángulo isósceles Teorema de Pitágoras perímetro

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Sea $M$ el punto medio de $BC;$ entonces $EM\perp AD$ y $EM=8$ .

Let $M$ be the midpoint of $BC;$ then $EM\perp AD$ and $EM=8$

Pista grande:

Con $AB=CD=x$ y $AE=ED=y,$ usa la condición de perímetro y el teorema de Pitágoras.

With $AB=CD=x$ and $AE=ED=y,$ use the perimeter condition and the Pythagorean theorem

Solución:

Sea $M$ el punto medio de $BC.$ Como $BE=CE,$ $EM\perp BC$ y $EM=\sqrt{10^2-6^2}=8.$ Por simetría $AE=ED;$ escribe $AB=CD=x$ y $AE=ED=y.$

La condición de perímetro da $2y+(2x+12)$ $=2(10+10+12)=64,$ así que $x+y=26.$ Además $y^2=EM^2+(x+6)^2$ $=64+(x+6)^2.$

Sustituyendo $y=26-x,$ $(26-x)^2=64+(x+6)^2,$ lo que se simplifica a $676-52x=100+12x,$ así que $64x=576$ y $x=9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $M$ be the midpoint of $BC.$ Since $BE=CE,$ $EM\perp BC$ and $EM=\sqrt{10^2-6^2}=8.$ By symmetry $AE=ED;$ write $AB=CD=x$ and $AE=ED=y.$

The perimeter condition gives $2y+(2x+12)$ $=2(10+10+12)=64,$ so $x+y=26.$ Also $y^2=EM^2+(x+6)^2$ $=64+(x+6)^2.$

Substituting $y=26-x,$ $(26-x)^2=64+(x+6)^2,$ which simplifies to $676-52x=100+12x,$ so $64x=576$ and $x=9.$

Thus, the correct answer is D.

24.

Tina selecciona al azar dos números distintos del conjunto $\{1,2,3,4,5\},$ y Sergio selecciona al azar un número del conjunto $\{1,2,\ldots,10\}.$ La probabilidad de que el número de Sergio sea mayor que la suma de los dos números elegidos por Tina es

Tina randomly selects two distinct numbers from the set $\{1,2,3,4,5\},$ and Sergio randomly selects a number from the set $\{1,2,\ldots,10\}.$ The probability that Sergio’s number is larger than the sum of the two numbers chosen by Tina is

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{9}{20}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{11}{20}$

$\dfrac{24}{25}$

Conceptos:probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Enumera las diez sumas posibles que Tina puede formar y con qué frecuencia aparece cada una.

List the ten possible sums Tina can make and how often each occurs

Pista grande:

Para una suma $s,$ el número de Sergio la supera con probabilidad $\dfrac{10-s}{10}$ .

For a sum $s,$ Sergio’s number exceeds it with probability $\dfrac{10-s}{10}$

Solución:

Los $10$ pares igualmente probables de Tina dan las sumas $3,$ $4,$ $5,$ $5,$ $6,$ $6,$ $7,$ $7,$ $8,$ y $9.$ Para una suma $s,$ el número de Sergio la supera con probabilidad $\dfrac{10-s}{10}.$

Promediando la probabilidad de éxito sobre los diez pares, el total es $\small\dfrac{7+6+5+5+4+4+3+3+2+1}{100}$ $=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Tina’s $10$ equally likely pairs give sums $3,$ $4,$ $5,$ $5,$ $6,$ $6,$ $7,$ $7,$ $8,$ and $9.$ For a sum $s,$ Sergio’s number exceeds it with probability $\dfrac{10-s}{10}.$

Averaging the winning probability over the ten pairs, the total is $\small\dfrac{7+6+5+5+4+4+3+3+2+1}{100}$ $=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}.$

Thus, the correct answer is A.

25.

En el trapecio $ABCD$ con bases $\overline{AB}$ y $\overline{CD},$ tenemos $AB=52,$ $BC=12,$ $CD=39,$ y $DA=5.$ El área de $ABCD$ es

In trapezoid $ABCD$ with bases $\overline{AB}$ and $\overline{CD},$ we have $AB=52,$ $BC=12,$ $CD=39,$ and $DA=5.$ The area of $ABCD$ is

$182$

$195$

$210$

$234$

$260$

Conceptos:trapecio semejanza Terna pitagórica

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Extiende los lados $DA$ y $CB$ hasta que se encuentren en un punto $P$ .

Extend the legs $DA$ and $CB$ until they meet at a point $P$

Pista grande:

$\triangle PDC\sim\triangle PAB$ con razón $\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}$ .

$\triangle PDC\sim\triangle PAB$ with ratio $\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}$

Solución:

Extiende $DA$ y $CB$ hasta encontrarse en $P.$ Como $DC\parallel AB,$ $\triangle PDC\sim\triangle PAB$ con razón $\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}.$ De $\dfrac{PD}{PD+5}=\dfrac{3}{4}$ obtenemos $PD=15,$ y análogamente $PC=36.$

Entonces $PD:PC:DC=15:36:39$ $=3\cdot(5:12:13),$ así que $\angle P$ es un ángulo recto. El área de $ABCD$ es $\begin{gathered} \dfrac{1}{2}(PA)(PB) \\ {}-\dfrac{1}{2}(PD)(PC) \\ = \dfrac{1}{2}(20)(48) \\ {}-\dfrac{1}{2}(15)(36) \\ = 480-270=210. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Extend $DA$ and $CB$ to meet at $P.$ Since $DC\parallel AB,$ $\triangle PDC\sim\triangle PAB$ with ratio $\dfrac{39}{52}=\dfrac{3}{4}.$ From $\dfrac{PD}{PD+5}=\dfrac{3}{4}$ we get $PD=15,$ and similarly $PC=36.$

Then $PD:PC:DC=15:36:39$ $=3\cdot(5:12:13),$ so $\angle P$ is a right angle. The area of $ABCD$ is $\begin{gathered} \dfrac{1}{2}(PA)(PB) \\ {}-\dfrac{1}{2}(PD)(PC) \\ = \dfrac{1}{2}(20)(48) \\ {}-\dfrac{1}{2}(15)(36) \\ = 480-270=210. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.