Question

Cada uno de $27$ ladrillos (prismas rectangulares rectos) tiene dimensiones $a \times b \times c,$ donde $a, b,$ y $c$ son enteros positivos primos entre sí dos a dos. Estos ladrillos se disponen para formar un bloque $3 \times 3 \times 3$ , como se muestra a la izquierda abajo. Se introduce un $28$ º ladrillo con las mismas dimensiones, y estos ladrillos se reconfiguran en un bloque $2 \times 2 \times 7$ , mostrado a la derecha. El nuevo bloque es $1$ unidad más alto, $1$ unidad más ancho y $1$ unidad más profundo que el viejo. ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

Each of $27$ bricks (right rectangular prisms) has dimensions $a \times b \times c,$ where $a, b,$ and $c$ are pairwise relatively prime positive integers. These bricks are arranged to form a $3 \times 3 \times 3$ block, as shown on the left below. A $28$ th brick with the same dimensions is introduced, and these bricks are reconfigured into a $2 \times 2 \times 7$ block, shown on the right. The new block is $1$ unit taller, $1$ unit wider, and $1$ unit deeper than the old one. What is $a + b + c?$

$88$

$89$

$90$

$91$

$92$

Solución:

El bloque $3 \times 3 \times 3$ tiene lados $3a, 3b, 3c$ . El bloque $2 \times 2 \times 7$ tiene lados $2u, 2v, 7w$ , donde $(u, v, w)$ es una permutación de $(a, b, c)$ . Cada lado nuevo supera a su lado viejo correspondiente en $1$ , así que $\{3a + 1, 3b + 1, 3c + 1\}$ es igual a $\{2u, 2v, 7w\}$ . Hay seis emparejamientos de lados nuevos con lados viejos. Al resolver sus sistemas lineales, cuatro dan longitudes negativas o no enteras; los otros $2$ simplemente intercambian los dos lados multiplicados por 2 y ambos dan $\{a,b,c\}=\{19,29,44\}$ . En efecto, $7 \cdot 19 = 133 = 3 \cdot 44 + 1$ , $2 \cdot 29 = 58 = 3 \cdot 19 + 1$ , y $2 \cdot 44 = 88 = 3 \cdot 29 + 1$ . Estos son primos entre sí dos a dos, así que $a + b + c = 19 + 29 + 44 = 92$ . Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The $3 \times 3 \times 3$ block has sides $3a, 3b, 3c$ . The $2 \times 2 \times 7$ block has sides $2u, 2v, 7w$ , where $(u, v, w)$ is a permutation of $(a, b, c)$ . Each new side exceeds its corresponding old side by $1$ , so $\{3a + 1, 3b + 1, 3c + 1\}$ equals $\{2u, 2v, 7w\}$ . There are six matchings of new sides to old sides. Solving their linear systems, four give negative or noninteger lengths; the other $2$ merely exchange the two sides multiplied by 2 and both give $\{a,b,c\}=\{19,29,44\}$ . Indeed, $7 \cdot 19 = 133 = 3 \cdot 44 + 1$ , $2 \cdot 29 = 58 = 3 \cdot 19 + 1$ , and $2 \cdot 44 = 88 = 3 \cdot 29 + 1$ . These are pairwise coprime, so $a + b + c = 19 + 29 + 44 = 92$ . Thus, E is the correct answer.

2024 AMC 10B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años