Question

Sea $S$ el conjunto de puntos reticulares del plano coordenado cuyas dos coordenadas son enteros entre $1$ y $30,$ inclusive. Exactamente $300$ puntos de $S$ están sobre o debajo de una recta con ecuación $y=mx$ . Los valores posibles de $m$ forman un intervalo de longitud $\frac ab$ , donde $a$ y $b$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

Let $S$ be the set of lattice points in the coordinate plane, both of whose coordinates are integers between $1$ and $30,$ inclusive. Exactly $300$ points in $S$ lie on or below a line with equation $y=mx.$ The possible values of $m$ lie in an interval of length $\frac ab,$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. What is $a+b?$

$31$

$47$

$62$

$72$

$85$

Solución:

Para una pendiente fija $m$ , el número de puntos de $S$ sobre o debajo de $y=mx$ es

$\sum_{x=1}^{30}\lfloor mx\rfloor,$

para las pendientes cercanas a la respuesta.

En $m=\frac23$ , agrupando $x=3k+1,3k+2,3k+3$ para $k=0,1,\ldots,9$ se obtiene

$\lfloor 2x/3\rfloor=2k,\ 2k+1, \ 2k+2,$

cuya suma en cada bloque es $6k+3$ . Así, el total es

$\sum_{k=0}^9(6k+3)=270+30=300.$

Si $m<\frac23$ , los diez puntos con razones $y/x=2/3$ ya no se cuentan, así que el conteo es menor que $300$ . Por lo tanto, el extremo inferior es $\frac23$ .

La siguiente razón posible $y/x$ mayor que $\frac23$ , con $1\le x,y\le30$ , se minimiza revisando $x$ módulo $3$ . Los mejores candidatos son

$\frac{19}{28},\qquad \frac{20}{29},\qquad \frac{21}{30}=\frac{7}{10},$

y el menor es $\frac{19}{28}$ . Por lo tanto, la longitud del intervalo es

$\frac{19}{28}-\frac23=\frac1{84}.$

Por lo tanto $a+b=1+84=85$ .

Por lo tanto, la respuesta es E.

For a fixed slope $m$ , the number of points in $S$ on or below $y=mx$ is

$\sum_{x=1}^{30}\lfloor mx\rfloor,$

for the slopes near the answer.

At $m=\frac23$ , grouping $x=3k+1,3k+2,3k+3$ for $k=0,1,\ldots,9$ gives

$\lfloor 2x/3\rfloor=2k,\ 2k+1, \ 2k+2,$

whose sum over each block is $6k+3$ . Thus the total is

$\sum_{k=0}^9(6k+3)=270+30=300.$

If $m<\frac23$ , the ten points with ratios $y/x=2/3$ are no longer counted, so the count is less than $300$ . Therefore the lower end is $\frac23$ .

The next possible ratio $y/x$ greater than $\frac23$ , with $1\le x,y\le30$ , is minimized by checking $x$ modulo $3$ . The best candidates are

$\frac{19}{28},\qquad \frac{20}{29},\qquad \frac{21}{30}=\frac{7}{10},$

and the smallest is $\frac{19}{28}$ . Hence the interval length is

$\frac{19}{28}-\frac23=\frac1{84}.$

Thus $a+b=1+84=85$ .

Thus, the answer is E .

2021 AMC 10B Spring Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años