Question

Un subconjunto $B$ del conjunto de enteros de $1$ a $100,$ inclusive, tiene la propiedad de que no hay dos elementos de $B$ cuya suma sea $125.$ ¿Cuál es el máximo número posible de elementos de $B$ ?

A subset $B$ of the set of integers from $1$ to $100,$ inclusive, has the property that no two elements of $B$ sum to $125.$ What is the maximum possible number of elements in $B?$

$50$

$51$

$62$

$65$

$68$

Solución:

Los pares que suman $125$ son $(25, 100), (26, 99), \ldots, (62, 63),$ que son $62 - 25 + 1 = 38$ pares. De cada par, $B$ puede contener a lo sumo un elemento.

Los números del $1$ al $24$ no pueden emparejarse con nada dentro del rango para sumar $125,$ así que los $24$ pueden incluirse.

Así, $B$ tiene a lo sumo $38 + 24 = 62$ elementos, y el conjunto $\{1, 2, \ldots, 62\}$ lo alcanza.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The pairs summing to $125$ are $(25, 100), (26, 99), \ldots, (62, 63),$ which is $62 - 25 + 1 = 38$ pairs. From each pair, $B$ may contain at most one element.

The numbers $1$ through $24$ cannot pair with anything in range to sum to $125,$ so all $24$ of them may be included.

Thus $B$ has at most $38 + 24 = 62$ elements, and the set $\{1, 2, \ldots, 62\}$ achieves this.

Thus, C is the correct answer.

2005 AMC 10B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años