Question

¿Cuántos pares de enteros positivos $(a,b)$ hay tales que $a$ y $b$ no tienen factores comunes mayores que $1$ y

$\frac{a}{b}+\frac{14b}{9a}$

es un entero?

How many pairs of positive integers $(a,b)$ are there such that $a$ and $b$ have no common factors greater than $1$ and

$\frac{a}{b}+\frac{14b}{9a}$

is an integer?

$4$

$6$

$9$

$12$

infinitos

infinitely many

Solución:

Combinando, la expresión es $\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}.$ Para que esto sea un entero, $a$ debe dividir a $9a^2+14b^2,$ por lo tanto $a\mid 14b^2.$ Como $\gcd(a,b)=1,$ obtenemos $a\mid 14.$ De forma similar $b\mid 9a^2$ da $b\mid 9.$

Así $a\in\{1,2,7,14\}$ y $b\in\{1,3,9\}.$ Al comprobar estos casos, solo $b=3$ hace que la expresión sea un entero para cada $a$ permitido.

Los pares válidos son $(1,3),(2,3),(7,3),$ y $(14,3),$ para un total de $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Combining, the expression is $\dfrac{9a^2+14b^2}{9ab}.$ For this to be an integer, $a$ must divide $9a^2+14b^2,$ hence $a\mid 14b^2.$ Since $\gcd(a,b)=1,$ we get $a\mid 14.$ Similarly $b\mid 9a^2$ gives $b\mid 9.$

So $a\in\{1,2,7,14\}$ and $b\in\{1,3,9\}.$ Checking these, only $b=3$ makes the expression an integer for each allowed $a.$

The valid pairs are $(1,3),(2,3),(7,3),$ and $(14,3),$ for a total of $4.$

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 10B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años