Question

Tres esferas mutuamente tangentes de radio $1$ descansan sobre un plano horizontal. Una esfera de radio $2$ descansa sobre ellas. ¿Cuál es la distancia del plano a la parte superior de la esfera más grande?

Three mutually tangent spheres of radius $1$ rest on a horizontal plane. A sphere of radius $2$ rests on them. What is the distance from the plane to the top of the larger sphere?

$3 + \dfrac{\sqrt{30}}{2}$

$3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}$

$3 + \dfrac{\sqrt{123}}{4}$

$\dfrac{52}{9}$

$3 + 2\sqrt{2}$

Solución:

Los tres centros pequeños forman un triángulo equilátero de lado $2,$ cada uno a $1$ unidad sobre el plano. Su baricentro $D$ está a distancia $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ de cada vértice.

El centro de la esfera grande $E$ está directamente sobre $D,$ y la distancia entre $E$ y un centro pequeño es $1 + 2 = 3.$ Por lo tanto $\begin{aligned} DE &= \sqrt{3^2 - \left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2} \\ &= \sqrt{9 - \dfrac{4}{3}} = \dfrac{\sqrt{69}}{3}. \end{aligned}$

Sumar la $1$ unidad del plano a $D$ y las $2$ unidades de $E$ a la parte superior de la esfera grande da $1 + \dfrac{\sqrt{69}}{3} + 2 = 3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The three small centers form an equilateral triangle of side $2,$ each $1$ unit above the plane. Its centroid $D$ is at distance $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ from each vertex.

The large sphere's center $E$ sits directly above $D,$ and the distance between $E$ and a small center is $1 + 2 = 3.$ Thus $\begin{aligned} DE &= \sqrt{3^2 - \left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2} \\ &= \sqrt{9 - \dfrac{4}{3}} = \dfrac{\sqrt{69}}{3}. \end{aligned}$

Adding the $1$ unit from the plane to $D$ and the $2$ units from $E$ to the top of the large sphere gives $1 + \dfrac{\sqrt{69}}{3} + 2 = 3 + \dfrac{\sqrt{69}}{3}.$

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años