Question

En $\triangle ABC$ tenemos $AB = 25,$ $BC = 39,$ y $AC = 42.$ Los puntos $D$ y $E$ están en $AB$ y $AC$ respectivamente, con $AD = 19$ y $AE = 14.$ ¿Cuál es la razón entre el área del triángulo $ADE$ y el área del cuadrilátero $BCED$ ?

In $\triangle ABC$ we have $AB = 25,$ $BC = 39,$ and $AC = 42.$ Points $D$ and $E$ are on $AB$ and $AC$ respectively, with $AD = 19$ and $AE = 14.$ What is the ratio of the area of triangle $ADE$ to the area of the quadrilateral $BCED?$

$\dfrac{266}{1521}$

$\dfrac{19}{75}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{19}{56}$

$1$

Solución:

Los triángulos $ADE$ y $ABC$ comparten el ángulo $A,$ así que $\begin{aligned} \dfrac{[ADE]}{[ABC]} &= \dfrac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC} \\ &= \dfrac{19 \cdot 14}{25 \cdot 42} \\ &= \dfrac{266}{1050} \\ &= \dfrac{19}{75}. \end{aligned}$ Como $[BCED] = [ABC] - [ADE],$ obtenemos $\dfrac{[ADE]}{[BCED]} = \dfrac{19}{75 - 19} = \dfrac{19}{56}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Triangles $ADE$ and $ABC$ share angle $A,$ so $\begin{aligned} \dfrac{[ADE]}{[ABC]} &= \dfrac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC} \\ &= \dfrac{19 \cdot 14}{25 \cdot 42} \\ &= \dfrac{266}{1050} \\ &= \dfrac{19}{75}. \end{aligned}$ Since $[BCED] = [ABC] - [ADE],$ we get $\dfrac{[ADE]}{[BCED]} = \dfrac{19}{75 - 19} = \dfrac{19}{56}.$

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años