Soluciones del 2005 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Mientras comían fuera, Mike y Joe le dejaron cada uno una propina de $\$2$ a su mesero. Mike dejó de propina el $10\%$ de su cuenta y Joe dejó el $20\%$ de la suya. ¿Cuál fue la diferencia, en dólares, entre sus cuentas?

While eating out, Mike and Joe each tipped their server $\$2.$ Mike tipped $10\%$ of his bill and Joe tipped $20\%$ of his bill. What was the difference, in dollars, between their bills?

$2$

$4$

$5$

$10$

$20$

Conceptos:porcentaje dinero

Nivel de dificultad: 900

Solución:

La propina de $\$2$ de Mike es el $10\%$ de su cuenta, así que su cuenta es $2 \times 10 = 20$ dólares. La propina de $\$2$ de Joe es el $20\%$ de su cuenta, así que su cuenta es $2 \times 5 = 10$ dólares. La diferencia es $20 - 10 = 10$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Mike's $\$2$ tip is $10\%$ of his bill, so his bill is $2 \times 10 = 20$ dollars. Joe's $\$2$ tip is $20\%$ of his bill, so his bill is $2 \times 5 = 10$ dollars. The difference is $20 - 10 = 10$ dollars.

Thus, the correct answer is D.

2.

Para cada par de números reales $a \neq b,$ se define la operación $\star$ como $(a \star b) = \frac{a+b}{a-b}.$

¿Cuál es el valor de $((1 \star 2) \star 3)$ ?

For each pair of real numbers $a \neq b,$ define the operation $\star$ as $(a \star b) = \frac{a+b}{a-b}.$

What is the value of $((1 \star 2) \star 3)?$

$-\dfrac{2}{3}$

$-\dfrac{1}{5}$

$0$

$\dfrac{1}{2}$

Este valor no está definido.

This value is not defined.

Conceptos:operación personalizada fracción orden de las operaciones

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Primero, $(1 \star 2) = \dfrac{1+2}{1-2} = \dfrac{3}{-1} = -3.$ Luego, $(-3 \star 3) = \dfrac{-3+3}{-3-3} = \dfrac{0}{-6} = 0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

First $(1 \star 2) = \dfrac{1+2}{1-2} = \dfrac{3}{-1} = -3.$ Then $(-3 \star 3) = \dfrac{-3+3}{-3-3} = \dfrac{0}{-6} = 0.$

Thus, the correct answer is C.

3.

Las ecuaciones $2x + 7 = 3$ y $bx - 10 = -2$ tienen la misma solución $x.$ ¿Cuál es el valor de $b$ ?

The equations $2x + 7 = 3$ and $bx - 10 = -2$ have the same solution $x.$ What is the value of $b?$

$-8$

$-4$

$-2$

$4$

$8$

Conceptos:ecuación lineal sustitución

Nivel de dificultad: 960

Solución:

De $2x + 7 = 3$ obtenemos $x = -2.$ Sustituyendo, $-2b - 10 = -2,$ así que $-2b = 8$ y $b = -4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

From $2x + 7 = 3$ we get $x = -2.$ Substituting, $-2b - 10 = -2,$ so $-2b = 8$ and $b = -4.$

Thus, the correct answer is B.

4.

Un rectángulo con una diagonal de longitud $x$ es dos veces más largo que ancho. ¿Cuál es el área del rectángulo?

A rectangle with a diagonal of length $x$ is twice as long as it is wide. What is the area of the rectangle?

$\dfrac{1}{4}x^2$

$\dfrac{2}{5}x^2$

$\dfrac{1}{2}x^2$

$x^2$

$\dfrac{3}{2}x^2$

Conceptos:rectángulo Teorema de Pitágoras área

Nivel de dificultad: 1100

Solución:

Sea el ancho $w,$ de modo que el largo es $2w.$ Entonces $x^2 = w^2 + (2w)^2 = 5w^2,$ lo que da $w^2 = \dfrac{x^2}{5}.$ El área es $w \cdot 2w = 2w^2 = \dfrac{2}{5}x^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the width be $w,$ so the length is $2w.$ Then $x^2 = w^2 + (2w)^2 = 5w^2,$ giving $w^2 = \dfrac{x^2}{5}.$ The area is $w \cdot 2w = 2w^2 = \dfrac{2}{5}x^2.$

Thus, the correct answer is B.

5.

Una tienda normalmente vende ventanas a $\$100$ cada una. Esta semana la tienda ofrece una ventana gratis por cada compra de cuatro. Dave necesita siete ventanas y Doug necesita ocho ventanas. ¿Cuántos dólares ahorrarán si compran las ventanas juntos en lugar de por separado?

A store normally sells windows at $\$100$ each. This week the store is offering one free window for each purchase of four. Dave needs seven windows and Doug needs eight windows. How many dollars will they save if they purchase the windows together rather than separately?

$100$

$200$

$300$

$400$

$500$

Conceptos:dinero conteo básico

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

Por su cuenta, Dave paga $6$ ventanas y recibe una gratis para llegar a $7,$ con un costo de $\$600;$ Doug paga $7$ y recibe una gratis para llegar a $8,$ con un costo de $\$700.$ Por separado pagan $\$1300.$ Juntos necesitan $15$ ventanas: al comprar $12$ obtienen $3$ gratis, por $\$1200.$ El ahorro es $1300 - 1200 = 100$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Alone, Dave pays for $6$ windows and receives one free to reach $7,$ costing $\$600;$ Doug pays for $7$ and receives one free to reach $8,$ costing $\$700.$ Separately they pay $\$1300.$ Together they need $15$ windows: buying $12$ yields $3$ free, for $\$1200.$ The savings are $1300 - 1200 = 100$ dollars.

Thus, the correct answer is A.

6.

El promedio (media) de $20$ números es $30,$ y el promedio de otros $30$ números es $20.$ ¿Cuál es el promedio de los $50$ números en total?

The average (mean) of $20$ numbers is $30,$ and the average of $30$ other numbers is $20.$ What is the average of all $50$ numbers?

$23$

$24$

$25$

$26$

$27$

Conceptos:media razón y proporción

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

La suma combinada es $20 \cdot 30 + 30 \cdot 20 = 600 + 600$ $= 1200.$ El promedio de los $50$ números es $\dfrac{1200}{50} = 24.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The combined sum is $20 \cdot 30 + 30 \cdot 20 = 600 + 600$ $= 1200.$ The average of all $50$ numbers is $\dfrac{1200}{50} = 24.$

Thus, the correct answer is B.

7.

Josh y Mike viven a $13$ millas de distancia. Ayer Josh empezó a andar en bicicleta hacia la casa de Mike. Un poco después, Mike empezó a andar en bicicleta hacia la casa de Josh. Cuando se encontraron, Josh había pedaleado el doble de tiempo que Mike y a cuatro quintos de la velocidad de Mike. ¿Cuántas millas había recorrido Mike cuando se encontraron?

Josh and Mike live $13$ miles apart. Yesterday Josh started to ride his bicycle toward Mike's house. A little later Mike started to ride his bicycle toward Josh's house. When they met, Josh had ridden for twice the length of time as Mike and at four-fifths of Mike's rate. How many miles had Mike ridden when they met?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

Supongamos que Mike recorre $m$ millas. Josh va a $\frac{4}{5}$ de la velocidad durante $2$ veces el tiempo, así que la distancia de Josh es $\frac{8}{5}m.$ Juntos cubren $13,$ por lo que $m + \frac{8}{5}m = \frac{13}{5}m = 13,$ lo que da $m = 5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let Mike ride $m$ miles. Josh rides $\frac{4}{5}$ the rate for $2$ times the time, so Josh's distance is $\frac{8}{5}m.$ Together they cover $13,$ so $m + \frac{8}{5}m = \frac{13}{5}m = 13,$ giving $m = 5.$

Thus, the correct answer is B.

8.

En la figura, la longitud del lado $AB$ del cuadrado $ABCD$ es $\sqrt{50},$ $E$ está entre $B$ y $H,$ y $BE = 1.$ ¿Cuál es el área del cuadrado interior $EFGH$ ?

In the figure, the length of side $AB$ of square $ABCD$ is $\sqrt{50},$ $E$ is between $B$ and $H,$ and $BE = 1.$ What is the area of the inner square $EFGH?$

$25$

$32$

$36$

$40$

$42$

Conceptos:cuadrado (geometría)Teorema de Pitágoras congruencia (geometría)

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

Los triángulos $ABH, BCE, CDF,$ y $DAG$ son triángulos rectángulos congruentes. En $\triangle BCE$ la hipotenusa es $BC = \sqrt{50}$ y $BE = 1,$ así que $CE = \sqrt{50 - 1} = 7.$ Como $BH = CE = 7$ y $E$ está sobre $BH$ con $BE = 1,$ el lado del cuadrado interior es $EH = 7 - 1 = 6,$ lo que da un área de $6^2 = 36.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The triangles $ABH, BCE, CDF,$ and $DAG$ are congruent right triangles. In $\triangle BCE$ the hypotenuse is $BC = \sqrt{50}$ and $BE = 1,$ so $CE = \sqrt{50 - 1} = 7.$ Since $BH = CE = 7$ and $E$ lies on $BH$ with $BE = 1,$ the inner square's side is $EH = 7 - 1 = 6,$ giving area $6^2 = 36.$

Thus, the correct answer is C.

9.

Tres fichas están marcadas con X y otras dos fichas están marcadas con O. Las cinco fichas se ordenan al azar en una fila. ¿Cuál es la probabilidad de que el orden se lea XOXOX?

Three tiles are marked X and two other tiles are marked O. The five tiles are randomly arranged in a row. What is the probability that the arrangement reads XOXOX?

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

Conceptos:probabilidad básica combinaciones

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

Las tres posiciones de las X pueden ser cualquiera de $\binom{5}{3} = 10$ opciones igualmente probables, y exactamente una de ellas produce XOXOX. Así que la probabilidad es $\dfrac{1}{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The three X positions can be any of $\binom{5}{3} = 10$ equally likely choices, and exactly one of them produces XOXOX. So the probability is $\dfrac{1}{10}.$

Thus, the correct answer is B.

10.

Hay dos valores de $a$ para los cuales la ecuación $4x^2 + ax + 8x + 9 = 0$ tiene una sola solución para $x.$ ¿Cuál es la suma de esos valores de $a$ ?

There are two values of $a$ for which the equation $4x^2 + ax + 8x + 9 = 0$ has only one solution for $x.$ What is the sum of those values of $a?$

$-16$

$-8$

$0$

$8$

$20$

Conceptos:cuadrática manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Escribiendo la ecuación como $4x^2 + (a+8)x + 9 = 0,$ hay una sola solución exactamente cuando el discriminante $(a+8)^2 - 144 = 0.$ Entonces $a + 8 = \pm 12,$ así que $a = 4$ o $a = -20,$ y su suma es $-16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Writing the equation as $4x^2 + (a+8)x + 9 = 0,$ there is one solution exactly when the discriminant $(a+8)^2 - 144 = 0.$ Then $a + 8 = \pm 12,$ so $a = 4$ or $a = -20,$ and their sum is $-16.$

Thus, the correct answer is A.

11.

Un cubo de madera de $n$ unidades por lado se pinta de rojo en las seis caras y luego se corta en $n^3$ cubos unitarios. Exactamente un cuarto del número total de caras de los cubos unitarios son rojas. ¿Cuánto vale $n$ ?

A wooden cube $n$ units on a side is painted red on all six faces and then cut into $n^3$ unit cubes. Exactly one-fourth of the total number of faces of the unit cubes are red. What is $n?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:geometría del cubo área de superficie razón y proporción

Nivel de dificultad: 1400

Solución:

Los cubos unitarios tienen $6n^3$ caras en total, de las cuales la superficie original aporta $6n^2$ caras rojas. Entonces $\dfrac{6n^2}{6n^3} = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{4},$ así que $n = 4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The unit cubes have $6n^3$ faces total, of which the original surface accounts for $6n^2$ red faces. Then $\dfrac{6n^2}{6n^3} = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{4},$ so $n = 4.$

Thus, the correct answer is B.

12.

La figura mostrada se llama trébol y se construye trazando sectores circulares sobre los lados de los triángulos equiláteros congruentes. ¿Cuál es el área de un trébol cuya base horizontal tiene longitud $2$ ?

The figure shown is called a trefoil and is constructed by drawing circular sectors about sides of the congruent equilateral triangles. What is the area of a trefoil whose horizontal base has length $2?$

$\dfrac{1}{3}\pi + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{2}{3}\pi$

$\dfrac{2}{3}\pi + \dfrac{\sqrt{3}}{4}$

$\dfrac{2}{3}\pi + \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{2}{3}\pi + \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Conceptos:sector circular descomposición de áreas triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1460

Solución:

Como la base $2$ equivale a dos radios, el radio es $1.$ El trébol está formado por cuatro triángulos equiláteros y cuatro segmentos circulares, que se reensamblan en cuatro sectores de $60^\circ$ de un círculo de radio $1.$ Su área total es $4 \cdot \dfrac{60}{360}\pi (1)^2 = \dfrac{2}{3}\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since the base $2$ equals two radii, the radius is $1.$ The trefoil is made of four equilateral triangles and four circular segments, which reassemble into four $60^\circ$ sectors of a circle of radius $1.$ Their total area is $4 \cdot \dfrac{60}{360}\pi (1)^2 = \dfrac{2}{3}\pi.$

Thus, the correct answer is B.

13.

¿Cuántos enteros positivos $n$ cumplen la siguiente condición:

$(130n)^{50} \gt n^{100} \gt 2^{200}?$

How many positive integers $n$ satisfy the following condition:

$(130n)^{50} \gt n^{100} \gt 2^{200}?$

$0$

$7$

$12$

$65$

$125$

Conceptos:desigualdad exponente conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Tomando raíces $50$ -ésimas, la condición se convierte en $130n \gt n^2 \gt 2^4 = 16.$ De $n^2 \gt 16$ obtenemos $n \gt 4,$ y de $130n \gt n^2$ obtenemos $n \lt 130.$ Así que $n$ recorre los enteros $5, 6, \ldots, 129,$ que son $125$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Taking $50$ th roots, the condition becomes $130n \gt n^2 \gt 2^4 = 16.$ From $n^2 \gt 16$ we get $n \gt 4,$ and from $130n \gt n^2$ we get $n \lt 130.$ So $n$ ranges over the integers $5, 6, \ldots, 129,$ which is $125$ values.

Thus, the correct answer is E.

14.

¿Cuántos números de tres cifras cumplen la propiedad de que la cifra del medio es el promedio de la primera y la última cifra?

How many three-digit numbers satisfy the property that the middle digit is the average of the first and the last digits?

$41$

$42$

$43$

$44$

$45$

Conceptos:dígitos paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1460

Solución:

La primera y la última cifra deben tener la misma paridad para que su promedio sea una cifra. Ambas impares da $5 \cdot 5 = 25$ pares. Ambas pares, con una cifra inicial distinta de cero, da $4 \cdot 5 = 20$ pares. Cada par fija la cifra del medio, para un total de $25 + 20 = 45$ números.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The first and last digits must have the same parity so their average is a digit. Both odd gives $5 \cdot 5 = 25$ pairs. Both even, with a nonzero leading digit, gives $4 \cdot 5 = 20$ pairs. Each pair fixes the middle digit, for a total of $25 + 20 = 45$ numbers.

Thus, the correct answer is E.

15.

¿Cuántos cubos positivos dividen a $3! \cdot 5! \cdot 7!$ ?

How many positive cubes divide $3! \cdot 5! \cdot 7!?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:factorización en primos conteo de factores factorial

Nivel de dificultad: 1580

Solución:

Como producto de primos, $3! \cdot 5! \cdot 7! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7.$ Un divisor cúbico usa exponentes que son múltiplos de $3:$ el exponente de $2$ puede ser $0, 3,$ o $6$ ( $3$ opciones), el exponente de $3$ puede ser $0$ o $3$ ( $2$ opciones), y los exponentes de $5$ y $7$ deben ser $0.$ Eso da $3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6$ cubos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

As a product of primes, $3! \cdot 5! \cdot 7! = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7.$ A cube divisor uses exponents that are multiples of $3:$ the exponent of $2$ can be $0, 3,$ or $6$ ( $3$ choices), the exponent of $3$ can be $0$ or $3$ ( $2$ choices), and the exponents of $5$ and $7$ must be $0.$ That gives $3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6$ cubes.

Thus, the correct answer is E.

16.

A un número de dos cifras se le resta la suma de sus cifras. La cifra de las unidades del resultado es $6.$ ¿Cuántos números de dos cifras tienen esta propiedad?

The sum of the digits of a two-digit number is subtracted from the number. The units digit of the result is $6.$ How many two-digit numbers have this property?

$5$

$7$

$9$

$10$

$19$

Conceptos:dígitos valor posicional dígito de las unidades

Nivel de dificultad: 1510

Solución:

Si el número es $10a + b,$ entonces $(10a + b) - (a + b) = 9a.$ La cifra de las unidades de $9a$ es $6$ solo cuando $a = 4,$ ya que $9 \cdot 4 = 36.$ La cifra $b$ puede ser entonces cualquiera de $0$ a $9,$ lo que da los diez números del $40$ al $49.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If the number is $10a + b,$ then $(10a + b) - (a + b) = 9a.$ The units digit of $9a$ is $6$ only when $a = 4,$ since $9 \cdot 4 = 36.$ The digit $b$ can then be anything from $0$ to $9,$ giving the ten numbers $40$ through $49.$

Thus, the correct answer is D.

17.

En la estrella de cinco puntas mostrada, las letras $A, B, C, D,$ y $E$ se reemplazan por los números $3, 5, 6, 7,$ y $9,$ aunque no necesariamente en ese orden. Las sumas de los números en los extremos de los segmentos $AB, BC, CD, DE,$ y $EA$ forman una progresión aritmética, aunque no necesariamente en ese orden. ¿Cuál es el término central de la progresión aritmética?

In the five-sided star shown, the letters $A, B, C, D,$ and $E$ are replaced by the numbers $3, 5, 6, 7,$ and $9,$ although not necessarily in this order. The sums of the numbers at the ends of the line segments $AB, BC, CD, DE,$ and $EA$ form an arithmetic sequence, although not necessarily in this order. What is the middle term of the arithmetic sequence?

$9$

$10$

$11$

$12$

$13$

Conceptos:sucesión aritmética doble conteo media

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Cada número es un extremo de dos segmentos, así que las cinco sumas de los segmentos suman $2(3 + 5 + 6 + 7 + 9) = 60.$ El término central de una progresión aritmética de cinco términos es igual a su media, que es $\dfrac{60}{5} = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Every number is an endpoint of two segments, so the five segment sums total $2(3 + 5 + 6 + 7 + 9) = 60.$ The middle term of a five-term arithmetic sequence equals its mean, which is $\dfrac{60}{5} = 12.$

Thus, the correct answer is D.

18.

El equipo A y el equipo B juegan una serie. El primer equipo en ganar tres partidos gana la serie. Cada equipo tiene la misma probabilidad de ganar cada partido, no hay empates y los resultados de los partidos individuales son independientes. Si el equipo B gana el segundo partido y el equipo A gana la serie, ¿cuál es la probabilidad de que el equipo B gane el primer partido?

Team A and team B play a series. The first team to win three games wins the series. Each team is equally likely to win each game, there are no ties, and the outcomes of the individual games are independent. If team B wins the second game and team A wins the series, what is the probability that team B wins the first game?

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad condicional enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1860

Solución:

Supongamos que se juegan los cinco partidos, de modo que toda secuencia de cinco resultados es igualmente probable. Se sabe que B gana el partido $2$ .

Exigir que B gane el segundo partido y que A termine ganando la serie (tres victorias) deja las secuencias igualmente probables $\begin{gathered} \text{BBAAA}, \quad \text{ABBAA}, \\ \text{ABABA}, \quad \text{ABAAB}, \\ \text{ABAAA}. \end{gathered}$ Solo en BBAAA el equipo B gana el primer partido.

Así que la probabilidad es $\dfrac{1}{5}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Suppose all five games are played, so every sequence of five results is equally likely. Requiring that B wins game $2$ and A ends up with the series (three wins) leaves the equally likely sequences

$\begin{gathered} \text{BBAAA}, \quad \text{ABBAA}, \\ \text{ABABA}, \quad \text{ABAAB}, \\ \text{ABAAA}. \end{gathered}$

Only in BBAAA does team B win the first game, so the probability is $\dfrac{1}{5}.$

Thus, the correct answer is A.

19.

Tres cuadrados de una pulgada se colocan con sus bases sobre una recta. El cuadrado central se levanta y se gira $45^\circ,$ como se muestra. Luego se centra y se baja a su ubicación original hasta que toca los dos cuadrados adyacentes. ¿A cuántas pulgadas está el punto $B$ de la recta sobre la que se colocaron las bases de los cuadrados originales?

Three one-inch squares are placed with their bases on a line. The center square is lifted out and rotated $45^\circ,$ as shown. Then it is centered and lowered into its original location until it touches both of the adjoining squares. How many inches is the point $B$ from the line on which the bases of the original squares were placed?

$1$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{3}{2}$

$\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}$

$2$

Conceptos:transformación cuadrado (geometría)triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1760

Solución:

Al bajarlo, los dos lados inferiores del cuadrado girado se apoyan en las esquinas superiores interiores de los cuadrados adyacentes, que están a altura $1.$ Analizando la geometría, el vértice inferior del cuadrado se asienta a altura $\frac{1}{2}.$ El punto $B$ es el vértice opuesto, más alto por una diagonal vertical completa de longitud $\sqrt{2}$ , así que su altura es $\frac{1}{2} + \sqrt{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

When lowered, the rotated square's two lower edges rest on the inner top corners of the adjoining squares, which are at height $1.$ Working out the geometry, the square's bottom vertex settles at height $\frac{1}{2}.$ The point $B$ is the opposite vertex, a full vertical diagonal of length $\sqrt{2}$ higher, so its height is $\frac{1}{2} + \sqrt{2}.$

Thus, the correct answer is D.

20.

Un octágono equiángulo tiene cuatro lados de longitud $1$ y cuatro lados de longitud $\dfrac{\sqrt{2}}{2},$ dispuestos de modo que no haya dos lados consecutivos con la misma longitud. ¿Cuál es el área del octágono?

An equiangular octagon has four sides of length $1$ and four sides of length $\dfrac{\sqrt{2}}{2},$ arranged so that no two consecutive sides have the same length. What is the area of the octagon?

$\dfrac{7}{2}$

$\dfrac{7\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{5 + 4\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{4 + 5\sqrt{2}}{2}$

$7$

Conceptos:polígono equiángulo descomposición de áreas triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1760

Solución:

Extiende los cuatro lados de longitud $1$ para formar un cuadrado. Cada lado corto $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ es la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles con catetos $\dfrac{1}{2},$ y al recortar estas cuatro esquinas de un cuadrado de lado $1 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$ se obtiene el octágono. Su área es $2^2 - 4 \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 4 - \frac{1}{2} = \dfrac{7}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Extend the four sides of length $1$ to form a square. Each short side $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ is the hypotenuse of an isosceles right triangle with legs $\dfrac{1}{2},$ and cutting these four corners from a square of side $1 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$ gives the octagon. Its area is $2^2 - 4 \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 4 - \frac{1}{2} = \dfrac{7}{2}.$

Thus, the correct answer is A.

21.

¿Para cuántos enteros positivos $n$ el número $1 + 2 + \cdots + n$ divide exactamente a $6n$ ?

For how many positive integers $n$ does $1 + 2 + \cdots + n$ evenly divide $6n?$

$3$

$5$

$7$

$9$

$11$

Conceptos:número triangular divisibilidad factor

Nivel de dificultad: 1790

Solución:

Como $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},$ el cociente es $\dfrac{6n}{n(n+1)/2} = \dfrac{12}{n+1},$ que es un entero exactamente cuando $n + 1$ divide a $12.$ Los divisores de $12$ que son al menos $2$ son $2, 3, 4, 6, 12,$ lo que da $n = 1, 2, 3, 5, 11$ , cinco valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},$ the quotient is $\dfrac{6n}{n(n+1)/2} = \dfrac{12}{n+1},$ which is an integer exactly when $n + 1$ divides $12.$ The divisors of $12$ that are at least $2$ are $2, 3, 4, 6, 12,$ giving $n = 1, 2, 3, 5, 11$ — five values.

Thus, the correct answer is B.

22.

Sea $S$ el conjunto de los $2005$ menores múltiplos positivos de $4,$ y sea $T$ el conjunto de los $2005$ menores múltiplos positivos de $6.$ ¿Cuántos elementos son comunes a $S$ y $T$ ?

Let $S$ be the set of the $2005$ smallest positive multiples of $4,$ and let $T$ be the set of the $2005$ smallest positive multiples of $6.$ How many elements are common to $S$ and $T?$

$166$

$333$

$500$

$668$

$1001$

Conceptos:mínimo común múltiplo múltiplo conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1690

Solución:

Los elementos comunes a $S$ y $T$ son los múltiplos de $\operatorname{lcm}(4,6) = 12.$ Ahora bien, $S$ contiene múltiplos de $4$ hasta $4 \cdot 2005 = 8020,$ mientras que $T$ llega hasta $6 \cdot 2005 = 12{,}030,$ así que los elementos comunes son los múltiplos de $12$ que no superan $8020.$ Hay $\left\lfloor \dfrac{8020}{12} \right\rfloor = 668$ de ellos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The elements common to $S$ and $T$ are the multiples of $\operatorname{lcm}(4,6) = 12.$ Now $S$ contains multiples of $4$ up to $4 \cdot 2005 = 8020,$ while $T$ reaches up to $6 \cdot 2005 = 12{,}030,$ so the common elements are the multiples of $12$ not exceeding $8020.$ There are $\left\lfloor \dfrac{8020}{12} \right\rfloor = 668$ of them.

Thus, the correct answer is D.

23.

Sea $AB$ un diámetro de un círculo y sea $C$ un punto sobre $AB$ con $2 \cdot AC = BC.$ Sean $D$ y $E$ puntos sobre el círculo tales que $DC \perp AB$ y $DE$ es un segundo diámetro. ¿Cuál es la razón entre el área de $\triangle DCE$ y el área de $\triangle ABD$ ?

Let $AB$ be a diameter of a circle and $C$ be a point on $AB$ with $2 \cdot AC = BC.$ Let $D$ and $E$ be points on the circle such that $DC \perp AB$ and $DE$ is a second diameter. What is the ratio of the area of $\triangle DCE$ to the area of $\triangle ABD?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:razón de áreas círculo área del triángulo

Nivel de dificultad: 2010

Solución:

Sea $O$ el centro. De $2 \cdot AC = BC$ y $AC + BC = AB,$ obtenemos $AC = \dfrac{AB}{3},$ así que $CO = \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} = \dfrac{AB}{6}.$ Los triángulos $DCO$ y $DAB$ comparten el vértice $D$ con bases $CO$ y $AB$ sobre la misma recta, así que $[\triangle DCO] = \dfrac{CO}{AB}[\triangle DAB]$ $= \dfrac{1}{6}[\triangle DAB].$ Como $O$ es el punto medio de $DE,$ $[\triangle DCE] = 2\,[\triangle DCO]$ $= \dfrac{1}{3}[\triangle DAB].$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $O$ be the center. From $2 \cdot AC = BC$ and $AC + BC = AB,$ we get $AC = \dfrac{AB}{3},$ so $CO = \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} = \dfrac{AB}{6}.$ Triangles $DCO$ and $DAB$ share the apex $D$ with bases $CO$ and $AB$ on the same line, so $[\triangle DCO] = \dfrac{CO}{AB}[\triangle DAB]$ $= \dfrac{1}{6}[\triangle DAB].$ Because $O$ is the midpoint of $DE,$ $[\triangle DCE] = 2\,[\triangle DCO]$ $= \dfrac{1}{3}[\triangle DAB].$

Thus, the correct answer is C.

24.

Para cada entero positivo $m \gt 1,$ sea $P(m)$ el mayor factor primo de $m.$ ¿Para cuántos enteros positivos $n$ se cumple que a la vez $P(n) = \sqrt{n}$ y $P(n + 48) = \sqrt{n + 48}$ ?

For each positive integer $m \gt 1,$ let $P(m)$ denote the greatest prime factor of $m.$ For how many positive integers $n$ is it true that both $P(n) = \sqrt{n}$ and $P(n + 48) = \sqrt{n + 48}?$

$0$

$1$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:primo cuadrado perfecto diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2120

Solución:

La condición $P(n) = \sqrt{n}$ significa que $n$ es el cuadrado de un primo $q,$ y de igual modo $n + 48 = p^2$ para un primo $p.$ Entonces $48 = p^2 - q^2 = (p - q)(p + q).$ Al revisar las factorizaciones de igual paridad de $48,$ solo $p - q = 2,\ p + q = 24$ da primos, lo que produce $(p, q) = (13, 11)$ y $n = 121.$ Por lo tanto, existe exactamente un $n$ de este tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The condition $P(n) = \sqrt{n}$ means $n$ is the square of a prime $q,$ and likewise $n + 48 = p^2$ for a prime $p.$ Then $48 = p^2 - q^2 = (p - q)(p + q).$ Checking the same-parity factorizations of $48,$ only $p - q = 2,\ p + q = 24$ yields primes, giving $(p, q) = (13, 11)$ and $n = 121.$ So there is exactly one such $n.$

Thus, the correct answer is B.

25.

En $\triangle ABC$ tenemos $AB = 25,$ $BC = 39,$ y $AC = 42.$ Los puntos $D$ y $E$ están en $AB$ y $AC$ respectivamente, con $AD = 19$ y $AE = 14.$ ¿Cuál es la razón entre el área del triángulo $ADE$ y el área del cuadrilátero $BCED$ ?

In $\triangle ABC$ we have $AB = 25,$ $BC = 39,$ and $AC = 42.$ Points $D$ and $E$ are on $AB$ and $AC$ respectively, with $AD = 19$ and $AE = 14.$ What is the ratio of the area of triangle $ADE$ to the area of the quadrilateral $BCED?$

$\dfrac{266}{1521}$

$\dfrac{19}{75}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{19}{56}$

$1$

Conceptos:razón de áreas área del triángulo

Nivel de dificultad: 1760

Solución:

Los triángulos $ADE$ y $ABC$ comparten el ángulo $A,$ así que $\begin{aligned} \dfrac{[ADE]}{[ABC]} &= \dfrac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC} \\ &= \dfrac{19 \cdot 14}{25 \cdot 42} \\ &= \dfrac{266}{1050} \\ &= \dfrac{19}{75}. \end{aligned}$ Como $[BCED] = [ABC] - [ADE],$ obtenemos $\dfrac{[ADE]}{[BCED]} = \dfrac{19}{75 - 19} = \dfrac{19}{56}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Triangles $ADE$ and $ABC$ share angle $A,$ so $\begin{aligned} \dfrac{[ADE]}{[ABC]} &= \dfrac{AD \cdot AE}{AB \cdot AC} \\ &= \dfrac{19 \cdot 14}{25 \cdot 42} \\ &= \dfrac{266}{1050} \\ &= \dfrac{19}{75}. \end{aligned}$ Since $[BCED] = [ABC] - [ADE],$ we get $\dfrac{[ADE]}{[BCED]} = \dfrac{19}{75 - 19} = \dfrac{19}{56}.$

Thus, the correct answer is D.