Question

Para un entero positivo

n

y dígitos no nulos

a,

b,

y

c,

sea

A_n

el entero de

n

dígitos cada uno de cuyos dígitos es igual a

a

; sea

B_n

el entero de

n

dígitos cada uno de cuyos dígitos es igual a

b

; y sea

C_n

el entero de

2n

dígitos (no de

n

dígitos) cada uno de cuyos dígitos es igual a

c.

¿Cuál es el mayor valor posible de

a + b + c

para el cual hay al menos dos valores de

n

tales que

C_n - B_n = A_n^2?

For a positive integer

n

and nonzero digits

a,

b,

and

c,

let

A_n

be the

n

-digit integer each of whose digits is equal to

a

; let

B_n

be the

n

-digit integer each of whose digits is equal to

b

; and let

C_n

be the

2n

-digit (not

n

-digit) integer each of whose digits is equal to

c.

What is the greatest possible value of

a + b + c

for which there are at least two values of

n

such that

C_n - B_n = A_n^2?

12

14

16

18

20

Respuesta: D

Conceptos:dígitos sucesión geométrica manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Escribe los números de dígitos repetidos como sumas geométricas.

Write the repeated-digit numbers as geometric sums

Pista grande:

Tener dos valores distintos de

n

obliga a que la ecuación lineal en

10^n

sea idénticamente verdadera.

Having two different

n

values forces the linear equation in

10^n

to be identically true

Solución:

Los números de dígitos repetidos pueden escribirse como

\begin{aligned} A_n&=a\dfrac{10^n-1}{9},\\ B_n&=b\dfrac{10^n-1}{9},\\ C_n&=c\dfrac{10^{2n}-1}{9}. \end{aligned}

Al sustituir estas expresiones en

C_n-B_n=A_n^2

y dividir entre

\frac{10^n-1}{9}

, obtenemos

c(10^n+1)-b=a^2\dfrac{10^n-1}{9}.

Al reorganizar, resulta

(9c-a^2)10^n=9b-9c-a^2.

Si esto se cumple para dos valores diferentes de

n,

al restar las ecuaciones vemos que

9c-a^2=0.

La ecuación mostrada también obliga a que

9b-9c-a^2=0.

Entonces

c=\frac{a^2}{9}

y

b=\frac{2a^2}{9}.

Como

a,b,c

son dígitos no nulos, los candidatos son

(a,b,c)=(3,2,1),

(6,8,4),

y

(9,18,9).

La última terna no es válida porque

18

no es un dígito. La mayor suma válida es

6+8+4=18.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The repeated-digit numbers can be written as

\begin{aligned} A_n&=a\dfrac{10^n-1}{9},\\ B_n&=b\dfrac{10^n-1}{9},\\ C_n&=c\dfrac{10^{2n}-1}{9}. \end{aligned}

Substituting these expressions into

C_n-B_n=A_n^2

and dividing by

\frac{10^n-1}{9}

gives

c(10^n+1)-b=a^2\dfrac{10^n-1}{9}.

Rearranging yields

(9c-a^2)10^n=9b-9c-a^2.

If this holds for two different values of

n,

subtracting the two equations shows that

9c-a^2=0.

The displayed equation then also forces

9b-9c-a^2=0.

Hence

c=\frac{a^2}{9}

and

b=\frac{2a^2}{9}.

Because

a,b,c

are nonzero digits, the candidates are

(a,b,c)=(3,2,1),

(6,8,4),

and

(9,18,9).

The last triple is invalid because

18

is not a digit. The greatest valid sum is

6+8+4=18.

Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 25

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años