Question

Para un entero positivo $n$ y dígitos no nulos $a,$ $b,$ y $c,$ sea $A_n$ el entero de $n$ dígitos cada uno de cuyos dígitos es igual a $a$ ; sea $B_n$ el entero de $n$ dígitos cada uno de cuyos dígitos es igual a $b$ ; y sea $C_n$ el entero de $2n$ dígitos (no de $n$ dígitos) cada uno de cuyos dígitos es igual a $c.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de $a + b + c$ para el cual hay al menos dos valores de $n$ tales que $C_n - B_n = A_n^2$ ?

For a positive integer $n$ and nonzero digits $a,$ $b,$ and $c,$ let $A_n$ be the $n$ -digit integer each of whose digits is equal to $a$ ; let $B_n$ be the $n$ -digit integer each of whose digits is equal to $b$ ; and let $C_n$ be the $2n$ -digit (not $n$ -digit) integer each of whose digits is equal to $c.$ What is the greatest possible value of $a + b + c$ for which there are at least two values of $n$ such that $C_n - B_n = A_n^2?$

$12$

$14$

$16$

$18$

$20$

Solución:

Podemos usar la fórmula de la suma de una sucesión geométrica para reescribir $A_n, B_n,$ y $C_n.$

$\begin{gather*} A_n = a(11\cdots11) \\ =a(1 + 10 + 10^2 + \cdots + 10^{n - 1}) \\ =a \cdot \dfrac{10^n - 1}{9} \end{gather*}$

De manera similar, obtenemos que $B_n = b \cdot \dfrac{10^n - 1}{9}$ y $C_n = c \cdot \dfrac{10^{2n} - 1}{9}.$

Podemos sustituir estas expresiones en nuestra condición para obtener $c \cdot \dfrac{10^{2n} - 1}{9} - b \cdot \dfrac{10^n - 1}{9}$ $= a^2 \left(\dfrac{10^n - 1}{9}\right)^2.$

Al simplificar se obtiene $\small \begin{align*} c(10^n + 1) - b &= a^2 \cdot \dfrac{10^n - 1}{9} \\ 9c(10^n + 1) - 9b &= a^2 \cdot (10^n - 1) \\ (9c - a^2)10^n &= 9b - 9c - a^2. \end{align*}$

De la última línea, vemos que $9c - a^2$ y $9b - 9c - a^2$ son constantes.

Para que haya al menos $2$ valores únicos de $n$ que satisfagan la ecuación, ambos lados deben ser iguales a cero.

Podemos verlo al notar que esta ecuación es lineal respecto a $10^n.$ Si ambos lados son distintos de cero, entonces no pueden existir $2$ soluciones únicas de una ecuación lineal.

Esto nos dice que $9c - a^2 = 0$ y $9b - 9c - a^2 = 0.$

La primera ecuación nos da $c = \dfrac{a^2}{9}.$ Sustituyendo esto en la segunda ecuación obtenemos $b = \dfrac{2a^2}{9}.$

Esto nos dice que $a$ debe ser divisible por $3.$ Esto nos da las siguientes ternas: $(3, 2, 1), (6, 8, 4), (9, 18, 9).$

La última terna no está permitida, así que la suma máxima es $6 + 8 + 4 = 18.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We can use the formula for the sum of a geometric sequence to rewrite $A_n, B_n,$ and $C_n.$

$\begin{gather*} A_n = a(11\cdots11) \\ =a(1 + 10 + 10^2 + \cdots + 10^{n - 1}) \\ =a \cdot \dfrac{10^n - 1}{9} \end{gather*}$

Similarly, we get that $B_n = b \cdot \dfrac{10^n - 1}{9}$ and $C_n = c \cdot \dfrac{10^{2n} - 1}{9}.$

We can substitute these expressions into our condition to get $c \cdot \dfrac{10^{2n} - 1}{9} - b \cdot \dfrac{10^n - 1}{9}$ $= a^2 \left(\dfrac{10^n - 1}{9}\right)^2.$

Simplifying yields $\small \begin{align*} c(10^n + 1) - b &= a^2 \cdot \dfrac{10^n - 1}{9} \\ 9c(10^n + 1) - 9b &= a^2 \cdot (10^n - 1) \\ (9c - a^2)10^n &= 9b - 9c - a^2. \end{align*}$

From the last line, we see that $9c - a^2$ and $9b - 9c - a^2$ are constants.

For there to be at least $2$ unique values of $n$ that satisfy the equation, both sides must equal zero.

We can see this by realizing that this equation is linear with respect to $10^n.$ If both sides are non-zero, then there cannot exist $2$ unique solutions to a linear equation.

This tells us that $9c - a^2 = 0$ and $9b - 9c - a^2 = 0.$

The first equation gives us $c = \dfrac{a^2}{9}.$ Plugging this into the second equation gives us $b = \dfrac{2a^2}{9}.$

This tells us that $a$ must be divisible by $3.$ This gives us the following triples: $(3, 2, 1), (6, 8, 4), (9, 18, 9).$

The last triple is not allowed, so the maximum sum is $6 + 8 + 4 = 18.$ Thus, D is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años