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2022 AMC 10B Problema 25

Intenta el Problema 25 del 2022 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2022 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Sea x0,x_0, x1,x_1, x2,x_2, …\dotsc una sucesión de números, donde cada xkx_k es 00 o 1.1. Para cada entero positivo n,n, define Sn=∑k=0n−1xk2kS_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k 2^k Supón que 7Sn≡1(mod2n)7S_n \equiv 1 \pmod{2^n} para todo n≥1.n \geq 1. ¿Cuál es el valor de la suma x2019+2x2020+x_{2019} + 2x_{2020} + 4x2021+8x2022?4x_{2021} + 8x_{2022}?
Let x0,x_0, x1,x_1, x2,x_2, …\dotsc be a sequence of numbers, where each xkx_k is either 00 or 1.1. For each positive integer n,n, define Sn=∑k=0n−1xk2kS_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k 2^k Suppose 7Sn≡1(mod2n)7S_n \equiv 1 \pmod{2^n} for all n≥1.n \geq 1. What is the value of the sum x2019+2x2020+x_{2019} + 2x_{2020} + 4x2021+8x2022?4x_{2021} + 8x_{2022}?
6 6
7 7
12 12
14 14
15 15
Respuesta: A
Conceptos:aritmética modularbase numéricapotencia de 2
Nivel de dificultad: 2390
Pista pequeña:
Halla S2019S_{2019} y S2023,S_{2023}, y luego resta para aislar los cuatro dígitos
Find S2019S_{2019} and S2023,S_{2023}, then subtract to isolate the four digits
Pista grande:
La congruencia define los dígitos binarios del inverso de 77
The congruence defines the binary digits of the inverse of 77
Solución:
La suma pedida es S2023−S201922019.\frac{S_{2023}-S_{2019}}{2^{2019}}. Además, 0≤Sn<2n.0\le S_n<2^n.
Por tanto, para un único mn∈{0,1,…,6},m_n\in\{0,1,\ldots,6\}, 7Sn=mn2n+1.7S_n=m_n2^n+1. Al reducir módulo 77 se obtiene mn2n≡−1(mod7).m_n2^n\equiv-1\pmod7.
Como 23≡1(mod7)2^3\equiv1\pmod7 y 2019≡0(mod3),2019\equiv0\pmod3, tenemos m2019=6.m_{2019}=6. Como 2023≡1(mod3),2023\equiv1\pmod3, se cumple 2m2023≡−1(mod7),2m_{2023}\equiv-1\pmod7, así que m2023=3.m_{2023}=3. Por ello, S2019=6⋅22019+17,S2023=3⋅22023+17.\begin{gathered}S_{2019}=\frac{6\cdot2^{2019}+1}{7},\\ S_{2023}=\frac{3\cdot2^{2023}+1}{7}.\end{gathered}
Finalmente, S2023−S201922019=3⋅24−67=6. \frac{S_{2023}-S_{2019}}{2^{2019}} =\frac{3\cdot2^4-6}{7}=6.
Así, la respuesta correcta es A.
The desired sum is S2023−S201922019.\frac{S_{2023}-S_{2019}}{2^{2019}}. Also, 0≤Sn<2n.0\le S_n<2^n.
Therefore, for a unique mn∈{0,1,…,6},m_n\in\{0,1,\ldots,6\}, 7Sn=mn2n+1.7S_n=m_n2^n+1. Reducing modulo 77 gives mn2n≡−1(mod7).m_n2^n\equiv-1\pmod7.
Since 23≡1(mod7)2^3\equiv1\pmod7 and 2019≡0(mod3),2019\equiv0\pmod3, we get m2019=6.m_{2019}=6. Since 2023≡1(mod3),2023\equiv1\pmod3, we have 2m2023≡−1(mod7),2m_{2023}\equiv-1\pmod7, so m2023=3.m_{2023}=3. Hence S2019=6⋅22019+17,S2023=3⋅22023+17.\begin{gathered}S_{2019}=\frac{6\cdot2^{2019}+1}{7},\\ S_{2023}=\frac{3\cdot2^{2023}+1}{7}.\end{gathered}
Finally, S2023−S201922019=3⋅24−67=6. \frac{S_{2023}-S_{2019}}{2^{2019}} =\frac{3\cdot2^4-6}{7}=6.
Thus, the correct answer is A .
Problema 24#24
Examen completo

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