Question

Considera las funciones $f$ que satisfacen $|f(x)-f(y)|\leq \dfrac{1}{2}|x-y|$ para todos los números reales $x$ y $y.$ Entre las que además satisfacen $f(300) = f(900),$ ¿cuál es el mayor valor posible de la siguiente expresión? $f(f(800))-f(f(400))$

Consider functions $f$ that satisfy $|f(x)-f(y)|\leq \dfrac{1}{2}|x-y|$ for all real numbers $x$ and $y.$ Of all such functions that also satisfy the equation $f(300) = f(900),$ what is the greatest possible value of the following expression? $f(f(800))-f(f(400))$

$25$

$50$

$100$

$150$

$200$

Respuesta: B

Conceptos:función desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Después de demostrar la cota superior, construye una función lineal por tramos que la alcance

After proving the upper bound, give a piecewise-linear function that attains it

Pista grande:

Usa dos veces la condición de contracción a cada lado de $f(300)=f(900)$

Use the contraction condition twice on each side of $f(300)=f(900)$

Solución:

Al aplicar dos veces la desigualdad de contracción se obtiene $\begin{aligned} &|f(f(400))-f(f(300))|\\ &\quad\le\frac12|f(400)-f(300)|\\ &\quad\le25, \end{aligned}$ y, de manera análoga, $|f(f(800))-f(f(900))|\le25.$

Sea $M=f(f(300))=f(f(900)).$ La desigualdad triangular da $\begin{aligned} &|f(f(800))-f(f(400))|\\ &\quad\le|f(f(800))-M|\\ &\qquad+|M-f(f(400))|\\ &\quad\le50. \end{aligned}$

Para alcanzar la cota, define $f$ por interpolación lineal a través de los puntos $\begin{gathered}(300,600),(400,550),(550,575),\\ (650,625),(800,650),(900,600).\end{gathered}$ y define $f(x)=600$ para $x\leq300$ o $x\geq900.$ Cada segmento tiene pendiente de valor absoluto a lo sumo $\dfrac12,$ así que se cumple la condición de contracción. En particular, $f(300)=f(900)=600,$ $f(400)=550,$ y $f(800)=650.$ Por lo tanto, $f(f(400))=f(550)=575,$ mientras que $f(f(800))=f(650)=625,$ lo que da la diferencia $50.$

Así, la respuesta es B.

Applying the contraction inequality twice gives $\begin{aligned} &|f(f(400))-f(f(300))|\\ &\quad\le\frac12|f(400)-f(300)|\\ &\quad\le25, \end{aligned}$ and similarly $|f(f(800))-f(f(900))|\le25.$

Set $M=f(f(300))=f(f(900)).$ The triangle inequality now yields $\begin{aligned} &|f(f(800))-f(f(400))|\\ &\quad\le|f(f(800))-M|\\ &\qquad+|M-f(f(400))|\\ &\quad\le50. \end{aligned}$

To attain the bound, define $f$ by linear interpolation through the points $\begin{gathered}(300,600),(400,550),(550,575),\\ (650,625),(800,650),(900,600).\end{gathered}$ and set $f(x)=600$ for $x\leq300$ or $x\geq900.$ Every segment has slope with absolute value at most $\dfrac12,$ so the contraction condition holds. In particular, $f(300)=f(900)=600,$ $f(400)=550,$ and $f(800)=650.$ Hence $f(f(400))=f(550)=575,$ while $f(f(800))=f(650)=625,$ giving the difference $50.$

Thus, the answer is B .

2022 AMC 10B Problema 24

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años