Question

Considera las funciones

f

que satisfacen

|f(x)-f(y)|\leq \dfrac{1}{2}|x-y|

para todos los números reales

x

y

y.

Entre las que además satisfacen

f(300) = f(900),

¿cuál es el mayor valor posible de la siguiente expresión?

f(f(800))-f(f(400))

Consider functions

f

that satisfy

|f(x)-f(y)|\leq \dfrac{1}{2}|x-y|

for all real numbers

x

and

y.

Of all such functions that also satisfy the equation

f(300) = f(900),

what is the greatest possible value of the following expression?

f(f(800))-f(f(400))

25

50

100

150

200

Respuesta: B

Conceptos:función desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Después de demostrar la cota superior, construye una función lineal por tramos que la alcance

After proving the upper bound, give a piecewise-linear function that attains it

Pista grande:

Usa dos veces la condición de contracción a cada lado de

f(300)=f(900)

Use the contraction condition twice on each side of

f(300)=f(900)

Solución:

Al aplicar dos veces la desigualdad de contracción se obtiene

\begin{aligned} &|f(f(400))-f(f(300))|\\ &\quad\le\frac12|f(400)-f(300)|\\ &\quad\le25, \end{aligned}

y, de manera análoga,

|f(f(800))-f(f(900))|\le25.

Sea

M=f(f(300))=f(f(900)).

La desigualdad triangular da

\begin{aligned} &|f(f(800))-f(f(400))|\\ &\quad\le|f(f(800))-M|\\ &\qquad+|M-f(f(400))|\\ &\quad\le50. \end{aligned}

Para alcanzar la cota, define

f

por interpolación lineal a través de los puntos

\begin{gathered}(300,600),(400,550),(550,575),\\ (650,625),(800,650),(900,600).\end{gathered}

y define

f(x)=600

para

x\leq300

o

x\geq900.

Cada segmento tiene pendiente de valor absoluto a lo sumo

\dfrac12,

así que se cumple la condición de contracción. En particular,

f(300)=f(900)=600,

f(400)=550,

y

f(800)=650.

Por lo tanto,

f(f(400))=f(550)=575,

mientras que

f(f(800))=f(650)=625,

lo que da la diferencia

50.

Así, la respuesta es B.

Applying the contraction inequality twice gives

\begin{aligned} &|f(f(400))-f(f(300))|\\ &\quad\le\frac12|f(400)-f(300)|\\ &\quad\le25, \end{aligned}

and similarly

|f(f(800))-f(f(900))|\le25.

Set

M=f(f(300))=f(f(900)).

The triangle inequality now yields

\begin{aligned} &|f(f(800))-f(f(400))|\\ &\quad\le|f(f(800))-M|\\ &\qquad+|M-f(f(400))|\\ &\quad\le50. \end{aligned}

To attain the bound, define

f

by linear interpolation through the points

\begin{gathered}(300,600),(400,550),(550,575),\\ (650,625),(800,650),(900,600).\end{gathered}

and set

f(x)=600

for

x\leq300

or

x\geq900.

Every segment has slope with absolute value at most

\dfrac12,

so the contraction condition holds. In particular,

f(300)=f(900)=600,

f(400)=550,

and

f(800)=650.

Hence

f(f(400))=f(550)=575,

while

f(f(800))=f(650)=625,

giving the difference

50.

Thus, the answer is B .

2022 AMC 10B Problema 24

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años