Question

Una sucesión de números naturales se construye listando los primeros $4,$ luego saltando uno, listando los siguientes $5,$ saltando $2,$ listando $6,$ saltando $3,$ y en la $n$ -ésima iteración, listando $n+3$ y saltando $n.$ La sucesión comienza $1,2,3,4,6,7,8,9,10,13.$ ¿Cuál es el $500,000$ -ésimo número de la sucesión?

A sequence of natural numbers is constructed by listing the first $4,$ then skipping one, listing the next $5,$ skipping $2,$ listing $6,$ skipping $3,$ and on the $n$ th iteration, listing $n+3$ and skipping $n.$ The sequence begins $1,2,3,4,6,7,8,9,10,13.$ What is the $500,000$ th number in the sequence?

$996,\!506$

$996,\!507$

$996,\!508$

$996,\!509$

$996,\!510$

Solución:

Después de $n$ iteraciones completas, el número de términos listados es $4+5+\cdots+(n+3)=\frac{n(n+7)}2$ .

Necesitamos el mayor $n$ con $\frac{n(n+7)}2<500000$ . Como $996\cdot1003=998988$ , después de $996$ iteraciones hay $499494$ números listados.

El primer número listado en la iteración $997$ es uno más que el total de todos los números listados y saltados hasta ese momento, es decir, $996^2+4\cdot996+1=996001$ .

El $500000$ -ésimo número listado es el $500000-499494=506$ -ésimo número de este siguiente bloque, así que es $996001+505=996506$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

After $n$ full iterations, the number of listed terms is $4+5+\cdots+(n+3)=\frac{n(n+7)}2$ .

We need the largest $n$ with $\frac{n(n+7)}2<500000$ . Since $996\cdot1003=998988$ , after $996$ iterations there are $499494$ listed numbers.

The first number listed in iteration $997$ is one more than the total of all listed and skipped numbers so far, namely $996^2+4\cdot996+1=996001$ .

The $500000$ th listed number is the $500000-499494=506$ th number of this next block, so it is $996001+505=996506$ .

Thus, A is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años