Question

Una hoja rectangular de papel cuya longitud es $\sqrt3$ veces el ancho tiene área $A.$ El papel se divide en tres secciones iguales a lo largo de los lados largos opuestos, y luego se traza una línea punteada desde el primer divisor hasta el segundo divisor del lado opuesto, como se muestra. Después el papel se dobla plano a lo largo de esta línea punteada para crear una nueva figura con área $B.$ ¿Cuál es la razón $\dfrac{B}{A}$ ?

A rectangular piece of paper whose length is $\sqrt3$ times the width has area $A.$ The paper is divided into three equal sections along the opposite lengths, and then a dotted line is drawn from the first divider to the second divider on the opposite side as shown. The paper is then folded flat along this dotted line to create a new shape with area $B.$ What is the ratio $\dfrac{B}{A}?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{4}{5}$

Solución:

Sin pérdida de generalidad, sea el ancho del rectángulo $1$ y la longitud $\sqrt3.$

Traza la recta perpendicular al punto medio del doblez, como se muestra a continuación.

Observa que $QR = \dfrac{2\sqrt3}{3}$ y $QT = \sqrt{1^2 + \left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^2}$ $= \sqrt{1 + \dfrac{1}{3}} = \sqrt{\dfrac{4}{3}}.$ Esto nos dice que $QT = \dfrac{2\sqrt3}{3} = QR.$ Esto significa que $\triangle QRT$ es equilátero. De igual manera, $\triangle RTS$ es equilátero. Esto hace que los dos triángulos sean congruentes.

Esto significa que, después de doblar el rectángulo, esta área quedará solapada. El área del rectángulo es $1 \cdot \sqrt3 = \sqrt3.$ La longitud del lado de este triángulo es $QT = \dfrac{2\sqrt3}{3}.$ Su área es entonces $\left(\dfrac{2\sqrt3}{3}\right)^2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4} = \dfrac{\sqrt3}{3}.$ El área de la figura doblada es entonces $\sqrt3 - \dfrac{\sqrt3}{3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}.$ La razón buscada es entonces $\dfrac{2\sqrt3}{3} \div \sqrt3 = \dfrac{2}{3}.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

WLOG, let the width of the rectangle be $1$ and the length be $\sqrt3.$

Draw the line perpendicular to the midpoint of the fold, as shown below.

Note that $QR = \dfrac{2\sqrt3}{3}$ and $QT = \sqrt{1^2 + \left(\dfrac{\sqrt3}{3}\right)^2}$ $= \sqrt{1 + \dfrac{1}{3}} = \sqrt{\dfrac{4}{3}}.$ This tells us $QT = \dfrac{2\sqrt3}{3} = QR.$ This means that $\triangle QRT$ is equilateral. Similarly, $\triangle RTS$ is equilateral. This makes the two triangles congruent.

This means that after the rectangle gets folded, this area will be overlapped. The area of the rectangle is $1 \cdot \sqrt3 = \sqrt3.$ The side length of this triangle is $QT = \dfrac{2\sqrt3}{3}.$ The area of it is then $\left(\dfrac{2\sqrt3}{3}\right)^2 \cdot \dfrac{\sqrt3}{4} = \dfrac{\sqrt3}{3}.$ The area of the folded figure is then $\sqrt3 - \dfrac{\sqrt3}{3} = \dfrac{2\sqrt3}{3}.$ The desired ratio is then $\dfrac{2\sqrt3}{3} \div \sqrt3 = \dfrac{2}{3}.$ Thus, C is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años