Question

Sea $\{a_k\}$ una sucesión de enteros tal que $a_1 = 1$ y $a_{m+n} = a_m + a_n + mn$ para todos los enteros positivos $m$ y $n.$ ¿Cuánto vale $a_{12}$ ?

Let $\{a_k\}$ be a sequence of integers such that $a_1 = 1$ and $a_{m+n} = a_m + a_n + mn$ for all positive integers $m$ and $n.$ What is $a_{12}?$

$45$

$56$

$67$

$78$

$89$

Solución:

Poniendo $n = 1,$ obtenemos $a_{m+1} = a_m + a_1 + m$ $= a_m + (m + 1),$ así que $a_{m+1} - a_m = m + 1.$

Sumando desde $m = 1$ hasta $11,$ $\begin{aligned} a_{12} - a_1 &= 2 + 3 + \cdots + 12 \\ &= \dfrac{12\cdot 13}{2} - 1 \\ &= 77. \end{aligned}$

Por lo tanto $a_{12} = 1 + 77 = 78.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Setting $n = 1,$ we get $a_{m+1} = a_m + a_1 + m$ $= a_m + (m + 1),$ so $a_{m+1} - a_m = m + 1.$

Summing from $m = 1$ to $11,$ $\begin{aligned} a_{12} - a_1 &= 2 + 3 + \cdots + 12 \\ &= \dfrac{12\cdot 13}{2} - 1 \\ &= 77. \end{aligned}$

Therefore $a_{12} = 1 + 77 = 78.$

Thus, the correct answer is D.

2002 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años