Question

Un piso rectangular mide $a$ pies por $b$ pies, donde $a$ y $b$ son enteros positivos con $b\gt a.$ Un artista pinta un rectángulo en el piso con los lados del rectángulo paralelos a los lados del piso. La parte sin pintar del piso forma un borde de ancho $1$ pie alrededor del rectángulo pintado y ocupa la mitad del área de todo el piso. ¿Cuántas posibilidades hay para el par ordenado $(a,b)$ ?

A rectangular floor measures $a$ feet by $b$ feet, where $a$ and $b$ are positive integers with $b\gt a.$ An artist paints a rectangle on the floor with the sides of the rectangle parallel to the sides of the floor. The unpainted part of the floor forms a border of width $1$ foot around the painted rectangle and occupies half the area of the entire floor. How many possibilities are there for the ordered pair $(a,b)?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución:

El rectángulo pintado es $(a-2)\times(b-2),$ y es la mitad del piso, así que $ab=2(a-2)(b-2).$

Al expandir se obtiene $0=ab-4a-4b+8,$ y sumando $8$ resulta $(a-4)(b-4)=8.$

Con $b\gt a\gt 0,$ las factorizaciones $8=1\cdot 8=2\cdot 4$ dan $(a,b)=(5,12)$ y $(6,8).$ Así que hay $2$ posibilidades.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The painted rectangle is $(a-2)\times(b-2),$ and it is half the floor, so $ab=2(a-2)(b-2).$

Expanding gives $0=ab-4a-4b+8,$ and adding $8$ yields $(a-4)(b-4)=8.$

With $b\gt a\gt 0,$ the factorizations $8=1\cdot 8=2\cdot 4$ give $(a,b)=(5,12)$ and $(6,8).$ So there are $2$ possibilities.

Thus, the correct answer is B.

2008 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años