Soluciones del 2008 AMC 10B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Un jugador de baloncesto anotó $5$ canastas durante un partido. Cada canasta valía $2$ o $3$ puntos. ¿Cuántos números diferentes podrían representar el total de puntos anotados por el jugador?

A basketball player made $5$ baskets during a game. Each basket was worth either $2$ or $3$ points. How many different numbers could represent the total points scored by the player?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:conteo básico enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Si $k$ canastas valen $3$ puntos, el total es $2(5-k)+3k$ .

If $k$ baskets are worth $3$ points, the total is $2(5-k)+3k$

Pista grande:

A medida que $k$ va de $0$ a $5$ , el total aumenta en $1$ cada vez.

As $k$ runs from $0$ to $5$ , the total increases by $1$ each time

Solución:

Si $k$ de las canastas valen $3$ puntos y el resto valen $2,$ el total es $2(5-k)+3k=10+k.$

A medida que $k$ recorre $0,1,\ldots,5,$ el total toma cada valor entero desde $10$ hasta $15,$ dando $6$ posibilidades.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If $k$ of the baskets are worth $3$ points and the rest worth $2,$ the total is $2(5-k)+3k=10+k.$

As $k$ ranges over $0,1,\ldots,5,$ the total takes every integer value from $10$ to $15,$ giving $6$ possibilities.

Thus, the correct answer is E.

2.

Se muestra un bloque $4 \times 4$ de fechas de calendario. Se debe invertir el orden de los números de la segunda fila. Luego se debe invertir el orden de los números de la cuarta fila. Finalmente, se deben sumar los números de cada diagonal. ¿Cuál será la diferencia positiva entre las dos sumas diagonales?

A $4 \times 4$ block of calendar dates is shown. The order of the numbers in the second row is to be reversed. Then the order of the numbers in the fourth row is to be reversed. Finally, the numbers on each diagonal are to be added. What will be the positive difference between the two diagonal sums?

$2$

$4$

$6$

$8$

$10$

Conceptos:fecha y hora simulación de procesos

Nivel de dificultad: 880

Pista pequeña:

Después de invertir las filas $2$ y $4,$ escribe la nueva cuadrícula.

After reversing rows $2$ and $4,$ write out the new grid

Pista grande:

La diagonal principal es $1,10,17,22$ y la otra es $4,9,16,25$ .

The main diagonal reads $1,10,17,22$ and the other reads $4,9,16,25$

Solución:

Después de invertir la segunda fila a $11,10,9,8$ y la cuarta fila a $25,24,23,22,$ las dos diagonales son $1,10,17,22$ y $4,9,16,25.$

Sus sumas son $1+10+17+22=50$ y $4+9+16+25=54,$ así que la diferencia positiva es $54-50=4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

After reversing the second row to $11,10,9,8$ and the fourth row to $25,24,23,22,$ the two diagonals are $1,10,17,22$ and $4,9,16,25.$

Their sums are $1+10+17+22=50$ and $4+9+16+25=54,$ so the positive difference is $54-50=4.$

Thus, the correct answer is B.

3.

Supón que $x$ es un número real positivo. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a $\sqrt[3]{x\sqrt{x}}\,?$

Assume that $x$ is a positive real number. Which is equivalent to $\sqrt[3]{x\sqrt{x}}\,?$

$x^{\frac{1}{6}}$

$x^{\frac{1}{4}}$

$x^{\frac{3}{8}}$

$x^{\frac{1}{2}}$

$x$

Conceptos:exponente radical

Nivel de dificultad: 940

Pista pequeña:

Escribe $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ .

Write $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

Pista grande:

Entonces $x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}},$ y la raíz cúbica divide el exponente entre $3$ .

Then $x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}},$ and the cube root divides the exponent by $3$

Solución:

Como $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}},$ tenemos $x\sqrt{x}=x^{1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}.$

Al tomar la raíz cúbica se multiplica el exponente por $\tfrac13,$ obteniendo $\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{2}}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}},$ we have $x\sqrt{x}=x^{1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}.$

Taking the cube root multiplies the exponent by $\tfrac13,$ giving $\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{2}}.$

Thus, the correct answer is D.

4.

Una liga de béisbol semiprofesional tiene equipos con $21$ jugadores cada uno. Las reglas de la liga establecen que a un jugador se le debe pagar al menos $\$15{,}000,$ y que el total de los salarios de todos los jugadores de cada equipo no puede exceder $\$700{,}000.$ ¿Cuál es el salario máximo posible, en dólares, para un solo jugador?

A semipro baseball league has teams with $21$ players each. League rules state that a player must be paid at least $\$15{,}000,$ and that the total of all players’ salaries for each team cannot exceed $\$700{,}000.$ What is the maximum possible salary, in dollars, for a single player?

$270{,}000$

$385{,}000$

$400{,}000$

$430{,}000$

$700{,}000$

Conceptos:desigualdad optimización argumento extremal

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Para maximizar un salario, paga a todos los demás lo mínimo permitido.

To maximize one salary, pay everyone else as little as allowed

Pista grande:

Los otros $20$ jugadores ganan cada uno $\$15{,}000$ .

The other $20$ players each earn $\$15{,}000$

Solución:

El salario de un jugador es máximo cuando los otros $20$ jugadores ganan cada uno el mínimo $\$15{,}000.$

Eso deja $\$700{,}000-20\cdot\$15{,}000$ $=\$700{,}000-\$300{,}000$ $=\$400{,}000$ para el único jugador.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

One player’s salary is largest when the other $20$ players each earn the minimum $\$15{,}000.$

That leaves $\$700{,}000-20\cdot\$15{,}000$ $=\$700{,}000-\$300{,}000$ $=\$400{,}000$ for the single player.

Thus, the correct answer is C.

5.

Para números reales $a$ y $b,$ define $a\,\$\,b=(a-b)^2.$ ¿Cuánto vale $(x-y)^2\,\$\,(y-x)^2$ ?

For real numbers $a$ and $b,$ define $a\,\$\,b=(a-b)^2.$ What is $(x-y)^2\,\$\,(y-x)^2?$

$0$

$x^2+y^2$

$2x^2$

$2y^2$

$4xy$

Conceptos:operación personalizada simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 880

Pista pequeña:

Compara $(x-y)^2$ y $(y-x)^2$ .

Compare $(x-y)^2$ and $(y-x)^2$

Pista grande:

Una vez que sepas que las dos entradas coinciden, aplica la definición de $a\,\$\,b$ .

Once you know the two inputs agree, apply the definition of $a\,\$\,b$

Solución:

Como $(y-x)^2=(x-y)^2,$ las dos entradas son idénticas.

Por lo tanto $(x-y)^2\,\$\,(y-x)^2$ $=\left((x-y)^2-(x-y)^2\right)^2$ $=0^2=0.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Since $(y-x)^2=(x-y)^2,$ the two inputs are identical.

Therefore $(x-y)^2\,\$\,(y-x)^2$ $=\left((x-y)^2-(x-y)^2\right)^2$ $=0^2=0.$

Thus, the correct answer is A.

6.

Los puntos $B$ y $C$ están sobre $\overline{AD}.$ La longitud de $\overline{AB}$ es $4$ veces la longitud de $\overline{BD},$ y la longitud de $\overline{AC}$ es $9$ veces la longitud de $\overline{CD}.$ ¿Qué fracción de la longitud de $\overline{AD}$ representa la longitud de $\overline{BC}$ ?

Points $B$ and $C$ lie on $\overline{AD}.$ The length of $\overline{AB}$ is $4$ times the length of $\overline{BD},$ and the length of $\overline{AC}$ is $9$ times the length of $\overline{CD}.$ The length of $\overline{BC}$ is what fraction of the length of $\overline{AD}?$

$\dfrac{1}{36}$

$\dfrac{1}{13}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{5}{36}$

$\dfrac{1}{5}$

Conceptos:razón y proporción fracción

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

A partir de $AB=4\,BD$ y $AB+BD=AD,$ halla $BD$ como fracción de $AD$ .

From $AB=4\,BD$ and $AB+BD=AD,$ find $BD$ as a fraction of $AD$

Pista grande:

De igual modo $CD=\tfrac{1}{10}AD,$ y $BC=BD-CD$ .

Similarly $CD=\tfrac{1}{10}AD,$ and $BC=BD-CD$

Solución:

Como $AB=4\,BD$ y $AB+BD=AD,$ obtenemos $5\,BD=AD,$ así que $BD=\tfrac15 AD.$

Como $AC=9\,CD$ y $AC+CD=AD,$ obtenemos $10\,CD=AD,$ así que $CD=\tfrac{1}{10}AD.$

Entonces $BC=BD-CD$ $=\tfrac15 AD-\tfrac{1}{10}AD$ $=\tfrac{1}{10}AD.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $AB=4\,BD$ and $AB+BD=AD,$ we get $5\,BD=AD,$ so $BD=\tfrac15 AD.$

Since $AC=9\,CD$ and $AC+CD=AD,$ we get $10\,CD=AD,$ so $CD=\tfrac{1}{10}AD.$

Then $BC=BD-CD$ $=\tfrac15 AD-\tfrac{1}{10}AD$ $=\tfrac{1}{10}AD.$

Thus, the correct answer is C.

7.

Un triángulo equilátero de lado $10$ se llena por completo con triángulos equiláteros no superpuestos de lado $1.$ ¿Cuántos triángulos pequeños se necesitan?

An equilateral triangle of side length $10$ is completely filled in by non-overlapping equilateral triangles of side length $1.$ How many small triangles are required?

$10$

$25$

$100$

$250$

$1000$

Conceptos:escalamiento de potencias de longitud, área y volumen triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 880

Pista pequeña:

El área escala con el cuadrado de la longitud del lado.

Area scales with the square of the side length

Pista grande:

El triángulo grande tiene $10^2$ veces el área de uno pequeño.

The big triangle has $10^2$ times the area of a small one

Solución:

El triángulo grande tiene un lado $10$ veces mayor que el de un triángulo pequeño, así que su área es $10^2=100$ veces mayor.

Como los triángulos pequeños lo recubren sin superposición, se necesitan exactamente $100$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The large triangle has side length $10$ times that of a small triangle, so its area is $10^2=100$ times as large.

Since the small triangles tile it without overlap, exactly $100$ of them are required.

Thus, the correct answer is C.

8.

Una clase recauda $\$50$ para comprar flores a un compañero que está en el hospital. Las rosas cuestan $\$3$ cada una y los claveles cuestan $\$2$ cada uno. No se usan otras flores. ¿Cuántos ramos diferentes se podrían comprar por exactamente $\$50$ ?

A class collects $\$50$ to buy flowers for a classmate who is in the hospital. Roses cost $\$3$ each, and carnations cost $\$2$ each. No other flowers are to be used. How many different bouquets could be purchased for exactly $\$50?$

$1$

$7$

$9$

$16$

$17$

Conceptos:Ecuación diofántica paridad

Nivel de dificultad: 1080

Pista pequeña:

Sea $r$ el número de rosas; entonces $3r+2c=50$ .

Let $r$ be the number of roses; then $3r+2c=50$

Pista grande:

Como $2c$ es par y $50$ es par, $r$ debe ser par, y $3r\le 50$ .

Since $2c$ is even and $50$ is even, $r$ must be even, and $3r\le 50$

Solución:

Si se compran $r$ rosas y $c$ claveles, entonces $3r+2c=50.$ Como $2c$ y $50$ son pares, $3r$ debe ser par, así que $r$ es par.

Además $3r\le 50,$ así que $r\le 16.$ Los valores pares $r=0,2,4,\ldots,16$ dan cada uno un valor válido de $c,$ lo que son $9$ ramos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If $r$ roses and $c$ carnations are bought, then $3r+2c=50.$ Because $2c$ and $50$ are even, $3r$ must be even, so $r$ is even.

Also $3r\le 50,$ so $r\le 16.$ The even values $r=0,2,4,\ldots,16$ each give a valid $c,$ which is $9$ bouquets.

Thus, the correct answer is C.

9.

Una ecuación cuadrática $ax^2-2ax+b=0$ tiene dos soluciones reales. ¿Cuál es el promedio de las soluciones?

A quadratic equation $ax^2-2ax+b=0$ has two real solutions. What is the average of the solutions?

$1$

$2$

$\dfrac{b}{a}$

$\dfrac{2b}{a}$

$\sqrt{2a-b}$

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática

Nivel de dificultad: 1040

Pista pequeña:

Para $Ax^2+Bx+C=0,$ la suma de las raíces es $-\dfrac{B}{A}$ .

For $Ax^2+Bx+C=0,$ the sum of the roots is $-\dfrac{B}{A}$

Pista grande:

El promedio es la mitad de la suma de las raíces.

The average is half the sum of the roots

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, la suma de las raíces de $ax^2-2ax+b=0$ es $\dfrac{-(-2a)}{a}=2.$

El promedio es la mitad de esto, es decir $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By Vieta’s formulas, the sum of the roots of $ax^2-2ax+b=0$ is $\dfrac{-(-2a)}{a}=2.$

The average is half of this, namely $1.$

Thus, the correct answer is A.

10.

Los puntos $A$ y $B$ están en un círculo de radio $5$ y $AB=6.$ El punto $C$ es el punto medio del arco menor $AB.$ ¿Cuál es la longitud del segmento $AC$ ?

Points $A$ and $B$ are on a circle of radius $5$ and $AB=6.$ Point $C$ is the midpoint of the minor arc $AB.$ What is the length of the line segment $AC?$

$\sqrt{10}$

$\dfrac{7}{2}$

$\sqrt{14}$

$\sqrt{15}$

$4$

Conceptos:cuerda Teorema de Pitágoras círculo

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

La recta desde el centro que pasa por $C$ biseca perpendicularmente la cuerda $AB$ .

The line from the center through $C$ perpendicularly bisects chord $AB$

Pista grande:

Halla la distancia del centro a la cuerda, réstala de $5$ para llegar a $C,$ luego usa el triángulo rectángulo con cateto $3$ .

Find the center-to-chord distance, subtract from $5$ to reach $C,$ then use the right triangle with leg $3$

Solución:

Sea $O$ el centro y $D$ el punto medio de $AB.$ Entonces $OD\perp AB$ con $AD=3,$ así que $OD=\sqrt{5^2-3^2}=4.$

Como $C$ es el punto medio del arco menor, $O,$ $D,$ $C$ son colineales y $DC=OC-OD=5-4=1.$

Entonces $AC=\sqrt{AD^2+DC^2}$ $=\sqrt{3^2+1^2}$ $=\sqrt{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $O$ be the center and $D$ the midpoint of $AB.$ Then $OD\perp AB$ with $AD=3,$ so $OD=\sqrt{5^2-3^2}=4.$

Since $C$ is the midpoint of the minor arc, $O,$ $D,$ $C$ are collinear and $DC=OC-OD=5-4=1.$

Then $AC=\sqrt{AD^2+DC^2}$ $=\sqrt{3^2+1^2}$ $=\sqrt{10}.$

Thus, the correct answer is A.

11.

Supón que $(u_n)$ es una sucesión de números reales que satisface $u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n,$ y que $u_3=9$ y $u_6=128.$ ¿Cuánto vale $u_5$ ?

Suppose that $(u_n)$ is a sequence of real numbers satisfying $u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n,$ and that $u_3=9$ and $u_6=128.$ What is $u_5?$

$40$

$53$

$68$

$88$

$104$

Conceptos:recursión sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Escribe $u_5$ y $u_6$ en términos de $u_4$ y $u_3$ .

Write $u_5$ and $u_6$ in terms of $u_4$ and $u_3$

Pista grande:

$u_5=2u_4+9$ y $u_6=2u_5+u_4,$ así que $128=5u_4+18$ .

$u_5=2u_4+9$ and $u_6=2u_5+u_4,$ so $128=5u_4+18$

Solución:

Usando la recurrencia, $u_5=2u_4+u_3=2u_4+9$ y $u_6=2u_5+u_4$ $=2(2u_4+9)+u_4$ $=5u_4+18.$

Al plantear $5u_4+18=128$ se obtiene $u_4=22,$ así que $u_5=2\cdot 22+9=53.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Using the recurrence, $u_5=2u_4+u_3=2u_4+9$ and $u_6=2u_5+u_4$ $=2(2u_4+9)+u_4$ $=5u_4+18.$

Setting $5u_4+18=128$ gives $u_4=22,$ so $u_5=2\cdot 22+9=53.$

Thus, the correct answer is B.

12.

El cartero Pete tiene un podómetro para contar sus pasos. El podómetro registra hasta $99999$ pasos y luego, en el siguiente paso, se reinicia a $00000$ . Pete planea determinar su millaje de un año. El $1$ de enero, Pete pone el podómetro en $00000.$ Durante el año, el podómetro pasa de $99999$ a $00000$ cuarenta y cuatro veces. El $31$ de diciembre el podómetro marca $50000.$ Pete da $1800$ pasos por milla. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana al número de millas que Pete caminó durante el año?

Postman Pete has a pedometer to count his steps. The pedometer records up to $99999$ steps, then flips over to $00000$ on the next step. Pete plans to determine his mileage for a year. On January $1$ Pete sets the pedometer to $00000.$ During the year, the pedometer flips from $99999$ to $00000$ forty-four times. On December $31$ the pedometer reads $50000.$ Pete takes $1800$ steps per mile. Which of the following is closest to the number of miles Pete walked during the year?

$2500$

$3000$

$3500$

$4000$

$4500$

Conceptos:valor posicional conversión de unidades estimación

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Cada reinicio representa $100000$ pasos.

Each flip represents $100000$ steps

Pista grande:

El total de pasos es $44\cdot 100000+50000,$ luego divide entre $1800$ .

Total steps are $44\cdot 100000+50000,$ then divide by $1800$

Solución:

Cada reinicio cuenta $100000$ pasos, así que Pete dio $44\cdot 100000+50000=4{,}450{,}000$ pasos.

Al dividir entre $1800$ se obtienen unas $2472$ millas, lo más cercano a $2500.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each flip counts $100000$ steps, so Pete took $44\cdot 100000+50000=4{,}450{,}000$ steps.

Dividing by $1800$ gives about $2472$ miles, which is closest to $2500.$

Thus, the correct answer is A.

13.

Para cada entero positivo $n,$ la media de los primeros $n$ términos de una sucesión es $n.$ ¿Cuál es el término $2008$ de la sucesión?

For each positive integer $n,$ the mean of the first $n$ terms of a sequence is $n.$ What is the $2008$ th term of the sequence?

$2008$

$4015$

$4016$

$4{,}030{,}056$

$4{,}032{,}064$

Conceptos:media sumatoria manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

La suma de los primeros $n$ términos es $n\cdot n=n^2$ .

The sum of the first $n$ terms is $n\cdot n=n^2$

Pista grande:

El término $n$ es $n^2-(n-1)^2$ .

The $n$ th term is $n^2-(n-1)^2$

Solución:

Como la media de los primeros $n$ términos es $n,$ su suma es $n^2.$

El término $n$ es $n^2-(n-1)^2=2n-1,$ así que el término $2008$ es $2\cdot 2008-1=4015.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since the mean of the first $n$ terms is $n,$ their sum is $n^2.$

The $n$ th term is $n^2-(n-1)^2=2n-1,$ so the $2008$ th term is $2\cdot 2008-1=4015.$

Thus, the correct answer is B.

14.

El triángulo $OAB$ tiene $O=(0,0),$ $B=(5,0),$ y $A$ en el primer cuadrante. Además, $\angle ABO=90^\circ$ y $\angle AOB=30^\circ.$ Supón que $\overline{OA}$ se rota $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de $O.$ ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen de $A$ ?

Triangle $OAB$ has $O=(0,0),$ $B=(5,0),$ and $A$ in the first quadrant. In addition, $\angle ABO=90^\circ$ and $\angle AOB=30^\circ.$ Suppose that $\overline{OA}$ is rotated $90^\circ$ counterclockwise about $O.$ What are the coordinates of the image of $A?$

$\left(-\dfrac{10}{3}\sqrt{3},\,5\right)$

$\left(-\dfrac{5}{3}\sqrt{3},\,5\right)$

$\left(\sqrt{3},\,5\right)$

$\left(\dfrac{5}{3}\sqrt{3},\,5\right)$

$\left(\dfrac{10}{3}\sqrt{3},\,5\right)$

Conceptos:geometría analítica transformación triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Halla $A$ primero: $AB=OB\tan 30^\circ$ ya que el ángulo recto está en $B$ .

Find $A$ first: $AB=OB\tan 30^\circ$ since the right angle is at $B$

Pista grande:

Una rotación de $90^\circ$ en sentido antihorario lleva $(x,y)$ a $(-y,x)$ .

A $90^\circ$ counterclockwise rotation sends $(x,y)$ to $(-y,x)$

Solución:

Como $\angle ABO=90^\circ,$ el segmento $AB$ es vertical, así que $A=\left(5,\,5\tan 30^\circ\right)=\left(5,\,\tfrac{5\sqrt3}{3}\right).$

Una rotación de $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen lleva $(x,y)$ a $(-y,x),$ así que la imagen de $A$ es $\left(-\tfrac{5\sqrt3}{3},\,5\right).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $\angle ABO=90^\circ,$ segment $AB$ is vertical, so $A=\left(5,\,5\tan 30^\circ\right)=\left(5,\,\tfrac{5\sqrt3}{3}\right).$

A $90^\circ$ counterclockwise rotation about the origin sends $(x,y)$ to $(-y,x),$ so the image of $A$ is $\left(-\tfrac{5\sqrt3}{3},\,5\right).$

Thus, the correct answer is B.

15.

¿Cuántos triángulos rectángulos tienen catetos de longitudes enteras $a$ y $b$ y una hipotenusa de longitud $b+1,$ donde $b\lt 100$ ?

How many right triangles have integer leg lengths $a$ and $b$ and a hypotenuse of length $b+1,$ where $b\lt 100?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:Terna pitagórica cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1310

Pista pequeña:

Plantea $a^2+b^2=(b+1)^2$ y simplifica.

Set $a^2+b^2=(b+1)^2$ and simplify

Pista grande:

Esto da $a^2=2b+1,$ así que $a^2$ es un cuadrado perfecto impar con $a^2\lt 201$ .

This gives $a^2=2b+1,$ so $a^2$ is an odd perfect square with $a^2\lt 201$

Solución:

De $a^2+b^2=(b+1)^2$ obtenemos $a^2=2b+1,$ así que $a$ es impar y $a^2$ es un cuadrado perfecto impar.

Como $b\lt 100,$ necesitamos $a^2=2b+1\lt 201,$ y $a^2\ge 9$ para $b\ge 4.$ Los cuadrados impares $9,25,49,81,121,169$ dan $a=3,5,7,9,11,13,$ lo que son $6$ triángulos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From $a^2+b^2=(b+1)^2$ we get $a^2=2b+1,$ so $a$ is odd and $a^2$ is an odd perfect square.

Since $b\lt 100,$ we need $a^2=2b+1\lt 201,$ and $a^2\ge 9$ for $b\ge 4.$ The odd squares $9,25,49,81,121,169$ give $a=3,5,7,9,11,13,$ which is $6$ triangles.

Thus, the correct answer is A.

16.

Se lanzan dos monedas equilibradas una vez. Por cada cara que salga, se lanza un dado equilibrado. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dados sea impar? (Nota que si no se lanza ningún dado, la suma es $0.$ )

Two fair coins are to be tossed once. For each head that results, one fair die is to be rolled. What is the probability that the sum of the die rolls is odd? (Note that if no die is rolled, the sum is $0.$ )

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{43}{72}$

$\dfrac{5}{8}$

$\dfrac{2}{3}$

Conceptos:probabilidad condicional dados (probabilidad)paridad

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Si se lanza al menos un dado, la suma es impar exactamente la mitad de las veces.

If at least one die is rolled, the sum is odd exactly half the time

Pista grande:

Resta la probabilidad de no lanzar ningún dado (ambas monedas cruz), luego toma la mitad del resto.

Subtract the probability of rolling no dice (both coins tails), then take half of the rest

Solución:

Siempre que se lanza al menos un dado, por simetría la suma es impar con probabilidad $\tfrac12.$

No se lanza ningún dado solo cuando ambas monedas son cruz, con probabilidad $\tfrac14;$ esa suma $0$ es par. Así que la respuesta es $\left(1-\tfrac14\right)\cdot\tfrac12=\tfrac38.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Whenever at least one die is rolled, by symmetry the sum is odd with probability $\tfrac12.$

No die is rolled only when both coins are tails, with probability $\tfrac14;$ that sum $0$ is even. So the answer is $\left(1-\tfrac14\right)\cdot\tfrac12=\tfrac38.$

Thus, the correct answer is A.

17.

Una encuesta muestra que el $70\%$ de todos los votantes aprueba el trabajo del alcalde. En tres ocasiones distintas, un encuestador selecciona a un votante al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que en exactamente una de estas tres ocasiones el votante apruebe el trabajo del alcalde?

A poll shows that $70\%$ of all voters approve of the mayor’s work. On three separate occasions a pollster selects a voter at random. What is the probability that on exactly one of these three occasions the voter approves of the mayor’s work?

$0.063$

$0.189$

$0.233$

$0.333$

$0.441$

Conceptos:probabilidad binomial eventos independientes

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Exactamente una aprobación puede ocurrir de $3$ maneras ordenadas.

Exactly one approval can happen in $3$ ordered ways

Pista grande:

Cada una de estas disposiciones tiene probabilidad $(0.7)(0.3)(0.3)$ .

Each such arrangement has probability $(0.7)(0.3)(0.3)$

Solución:

Exactamente una aprobación entre tres ocasiones ocurre de $\binom{3}{1}=3$ maneras, cada una con probabilidad $(0.7)(0.3)(0.3)=0.063.$

El total es $3\cdot 0.063=0.189.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Exactly one approval among three occasions arises in $\binom{3}{1}=3$ ways, each with probability $(0.7)(0.3)(0.3)=0.063.$

The total is $3\cdot 0.063=0.189.$

Thus, the correct answer is B.

18.

La albañila Brenda tardaría $9$ horas en construir una chimenea sola, y el albañil Brandon tardaría $10$ horas en construirla solo. Cuando trabajan juntos, hablan mucho, y su producción combinada disminuye en $10$ ladrillos por hora. Trabajando juntos, construyen la chimenea en $5$ horas. ¿Cuántos ladrillos hay en la chimenea?

Bricklayer Brenda would take $9$ hours to build a chimney alone, and bricklayer Brandon would take $10$ hours to build it alone. When they work together, they talk a lot, and their combined output is decreased by $10$ bricks per hour. Working together, they build the chimney in $5$ hours. How many bricks are in the chimney?

$500$

$900$

$950$

$1000$

$1900$

Conceptos:tasa ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Sea $n$ el número de ladrillos; sus ritmos en solitario son $\tfrac{n}{9}$ y $\tfrac{n}{10}$ .

Let $n$ be the number of bricks; their solo rates are $\tfrac{n}{9}$ and $\tfrac{n}{10}$

Pista grande:

Juntos colocan $\tfrac{n}{9}+\tfrac{n}{10}-10$ ladrillos por hora durante $5$ horas para totalizar $n$ .

Together they lay $\tfrac{n}{9}+\tfrac{n}{10}-10$ bricks per hour for $5$ hours to total $n$

Solución:

Sea $n$ el número de ladrillos. Brenda coloca $\tfrac{n}{9}$ por hora y Brandon $\tfrac{n}{10},$ así que juntos colocan $\tfrac{n}{9}+\tfrac{n}{10}-10$ por hora.

Durante $5$ horas esto es igual a $n:$ $5\left(\tfrac{n}{9}+\tfrac{n}{10}-10\right)=n.$ Al resolver, $\tfrac{5n}{9}+\tfrac{n}{2}-50=n,$ lo que da $n=900.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $n$ be the number of bricks. Brenda lays $\tfrac{n}{9}$ per hour and Brandon $\tfrac{n}{10},$ so together they lay $\tfrac{n}{9}+\tfrac{n}{10}-10$ per hour.

Over $5$ hours this equals $n:$ $5\left(\tfrac{n}{9}+\tfrac{n}{10}-10\right)=n.$ Solving, $\tfrac{5n}{9}+\tfrac{n}{2}-50=n,$ which gives $n=900.$

Thus, the correct answer is B.

19.

Un tanque cilíndrico de radio $4$ pies y altura $9$ pies está acostado de lado. El tanque está lleno de agua hasta una profundidad de $2$ pies. ¿Cuál es el volumen del agua, en pies cúbicos?

A cylindrical tank with radius $4$ feet and height $9$ feet is lying on its side. The tank is filled with water to a depth of $2$ feet. What is the volume of the water, in cubic feet?

$24\pi-36\sqrt{2}$

$24\pi-24\sqrt{3}$

$36\pi-36\sqrt{3}$

$36\pi-24\sqrt{2}$

$48\pi-36\sqrt{3}$

Conceptos:cilindro sector circular volumen

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

La sección transversal del agua es un segmento circular cortado por una cuerda $2$ pies por debajo del centro.

The water cross-section is a circular segment cut by a chord $2$ feet below the center

Pista grande:

Su área es un sector de $120^\circ$ menos un triángulo; multiplica por la longitud $9$ .

Its area is a $120^\circ$ sector minus a triangle; multiply by the length $9$

Solución:

La sección transversal sumergida es un segmento circular. La cuerda está $4-2=2$ pies por debajo del centro, y $\cos\theta=\tfrac{2}{4}=\tfrac12,$ así que el semiángulo es $60^\circ$ y el ángulo central es $120^\circ.$

El área del sector es $\tfrac{120}{360}\pi(4)^2=\tfrac{16\pi}{3},$ y el triángulo formado por los dos radios tiene área $\tfrac12(4)^2\sin 120^\circ=4\sqrt3.$ El área del segmento es $\tfrac{16\pi}{3}-4\sqrt3.$

Multiplicando por la longitud $9$ se obtiene $9\left(\tfrac{16\pi}{3}-4\sqrt3\right)=48\pi-36\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The submerged cross-section is a circular segment. The chord is $4-2=2$ feet below the center, and $\cos\theta=\tfrac{2}{4}=\tfrac12,$ so the half-angle is $60^\circ$ and the central angle is $120^\circ.$

The sector area is $\tfrac{120}{360}\pi(4)^2=\tfrac{16\pi}{3},$ and the triangle formed by the two radii has area $\tfrac12(4)^2\sin 120^\circ=4\sqrt3.$ The segment area is $\tfrac{16\pi}{3}-4\sqrt3.$

Multiplying by the length $9$ gives $9\left(\tfrac{16\pi}{3}-4\sqrt3\right)=48\pi-36\sqrt3.$

Thus, the correct answer is E.

20.

Las caras de un dado cúbico están marcadas con los números $1,$ $2,$ $2,$ $3,$ $3,$ y $4.$ Las caras de un segundo dado cúbico están marcadas con los números $1,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ y $8.$ Se lanzan ambos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dos números superiores sea $5,$ $7,$ o $9$ ?

The faces of a cubical die are marked with the numbers $1,$ $2,$ $2,$ $3,$ $3,$ and $4.$ The faces of a second cubical die are marked with the numbers $1,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ and $8.$ Both dice are thrown. What is the probability that the sum of the two top numbers will be $5,$ $7,$ or $9?$

$\dfrac{5}{18}$

$\dfrac{7}{18}$

$\dfrac{11}{18}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{8}{9}$

Conceptos:dados (probabilidad)enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Hay $6\times 6=36$ resultados igualmente probables; cuenta los que suman $5,7,$ o $9$ .

There are $6\times 6=36$ equally likely outcomes; count those summing to $5,7,$ or $9$

Pista grande:

Recuerda que cada $2$ y cada $3$ del primer dado aparece en dos caras.

Remember each $2$ and each $3$ on the first die appears on two faces

Solución:

De los $36$ resultados igualmente probables, los pares que dan suma $5$ son $(1,4),(2,3),(2,3),(4,1),$ que son $4$ resultados.

La suma $7$ proviene de $(1,6),(2,5),(2,5),$ $(3,4),(3,4),(4,3),$ que son $6,$ y la suma $9$ de $(1,8),(3,6),(3,6),(4,5),$ que son $4.$

La probabilidad es $\tfrac{4+6+4}{36}=\tfrac{14}{36}=\tfrac{7}{18}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Of the $36$ equally likely outcomes, the pairs giving sum $5$ are $(1,4),(2,3),(2,3),(4,1),$ which is $4$ outcomes.

Sum $7$ comes from $(1,6),(2,5),(2,5),$ $(3,4),(3,4),(4,3),$ which is $6,$ and sum $9$ from $(1,8),(3,6),(3,6),(4,5),$ which is $4.$

The probability is $\tfrac{4+6+4}{36}=\tfrac{14}{36}=\tfrac{7}{18}.$

Thus, the correct answer is B.

21.

Diez sillas están espaciadas uniformemente alrededor de una mesa redonda y numeradas en sentido horario del $1$ al $10.$ Cinco parejas casadas van a sentarse en las sillas con hombres y mujeres alternando, y nadie debe sentarse junto a ni directamente enfrente de su cónyuge. ¿Cuántas disposiciones de asientos son posibles?

Ten chairs are evenly spaced around a round table and numbered clockwise from $1$ through $10.$ Five married couples are to sit in the chairs with men and women alternating, and no one is to sit either next to or directly across from his or her spouse. How many seating arrangements are possible?

$240$

$360$

$480$

$540$

$720$

Conceptos:arreglos circulares arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Sienta primero a las mujeres; cuenta sus disposiciones en los asientos alternados.

Seat the women first; count their arrangements in the alternating seats

Pista grande:

Para una disposición fija de las mujeres, cuenta de cuántas maneras los hombres pueden evitar a sus cónyuges.

For a fixed seating of the women, count how many ways the men can avoid their spouses

Solución:

Sienta primero a las mujeres. La primera mujer puede ocupar cualquiera de las $10$ sillas, y como los asientos se alternan, las mujeres restantes llenan sus cuatro asientos de $4!$ maneras, dando $10\cdot 4!=240$ disposiciones.

Fija una mujer en la silla $1.$ Su cónyuge debe sentarse en la silla $4$ o la silla $8;$ cada elección obliga entonces de forma consistente la ubicación de todos los demás hombres. Así que cada disposición de las mujeres produce exactamente $2$ disposiciones válidas de los hombres.

El total es $2\cdot 240=480.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Seat the women first. The first woman may take any of the $10$ chairs, and since seats alternate, the remaining women fill their four seats in $4!$ ways, giving $10\cdot 4!=240$ arrangements.

Fix a woman in chair $1.$ Her spouse must sit in chair $4$ or chair $8;$ each choice then forces the placement of every other man consistently. So each seating of the women yields exactly $2$ valid seatings of the men.

The total is $2\cdot 240=480.$

Thus, the correct answer is C.

22.

Tres cuentas rojas, dos cuentas blancas y una cuenta azul se colocan en una fila en orden aleatorio. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya dos cuentas vecinas del mismo color?

Three red beads, two white beads, and one blue bead are placed in a line in random order. What is the probability that no two neighboring beads are the same color?

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad básica permutaciones de multiconjuntos arreglos con restricciones

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Hay $\dfrac{6!}{3!\,2!}=60$ ordenaciones distinguibles.

There are $\dfrac{6!}{3!\,2!}=60$ distinguishable orderings

Pista grande:

Primero coloca las tres cuentas rojas de modo que no haya dos adyacentes, luego encaja las cuentas blancas y azul.

First place the three red beads so no two are adjacent, then fit the white and blue beads

Solución:

Hay $\tfrac{6!}{3!\,2!}=60$ ordenaciones distinguibles. Las tres rojas deben ocupar posiciones no adyacentes, y las posibles ubicaciones de las rojas son $\{1,3,5\},\{2,4,6\},\{1,3,6\},$ y $\{1,4,6\}.$

Para $\{1,3,5\}$ y $\{2,4,6\},$ los lugares restantes son mutuamente no adyacentes, así que la cuenta azul puede ir en cualquiera de los $3,$ dando $3+3=6.$ Para $\{1,3,6\}$ y $\{1,4,6\},$ dos lugares restantes son adyacentes, así que la azul debe separar las blancas, dando $2+2=4.$

Eso son $10$ ordenaciones válidas, así que la probabilidad es $\tfrac{10}{60}=\tfrac16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

There are $\tfrac{6!}{3!\,2!}=60$ distinguishable orderings. The three reds must occupy non-adjacent positions, and the possible red placements are $\{1,3,5\},\{2,4,6\},\{1,3,6\},$ and $\{1,4,6\}.$

For $\{1,3,5\}$ and $\{2,4,6\},$ the remaining seats are mutually non-adjacent, so the blue bead can go in any of the $3,$ giving $3+3=6.$ For $\{1,3,6\}$ and $\{1,4,6\},$ two remaining seats are adjacent, so the blue must separate the whites, giving $2+2=4.$

That is $10$ valid orderings, so the probability is $\tfrac{10}{60}=\tfrac16.$

Thus, the correct answer is C.

23.

Un piso rectangular mide $a$ pies por $b$ pies, donde $a$ y $b$ son enteros positivos con $b\gt a.$ Un artista pinta un rectángulo en el piso con los lados del rectángulo paralelos a los lados del piso. La parte sin pintar del piso forma un borde de ancho $1$ pie alrededor del rectángulo pintado y ocupa la mitad del área de todo el piso. ¿Cuántas posibilidades hay para el par ordenado $(a,b)$ ?

A rectangular floor measures $a$ feet by $b$ feet, where $a$ and $b$ are positive integers with $b\gt a.$ An artist paints a rectangle on the floor with the sides of the rectangle parallel to the sides of the floor. The unpainted part of the floor forms a border of width $1$ foot around the painted rectangle and occupies half the area of the entire floor. How many possibilities are there for the ordered pair $(a,b)?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:Truco de factorización favorito de Simon Ecuación diofántica área

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

El rectángulo pintado mide $(a-2)$ por $(b-2),$ y su área es la mitad de $ab$ .

The painted rectangle measures $(a-2)$ by $(b-2),$ and its area is half of $ab$

Pista grande:

A partir de $ab=2(a-2)(b-2),$ reordena a $(a-4)(b-4)=8$ .

From $ab=2(a-2)(b-2),$ rearrange to $(a-4)(b-4)=8$

Solución:

El rectángulo pintado es $(a-2)\times(b-2),$ y es la mitad del piso, así que $ab=2(a-2)(b-2).$

Al expandir se obtiene $0=ab-4a-4b+8,$ y sumando $8$ resulta $(a-4)(b-4)=8.$

Con $b\gt a\gt 0,$ las factorizaciones $8=1\cdot 8=2\cdot 4$ dan $(a,b)=(5,12)$ y $(6,8).$ Así que hay $2$ posibilidades.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The painted rectangle is $(a-2)\times(b-2),$ and it is half the floor, so $ab=2(a-2)(b-2).$

Expanding gives $0=ab-4a-4b+8,$ and adding $8$ yields $(a-4)(b-4)=8.$

With $b\gt a\gt 0,$ the factorizations $8=1\cdot 8=2\cdot 4$ give $(a,b)=(5,12)$ and $(6,8).$ So there are $2$ possibilities.

Thus, the correct answer is B.

24.

El cuadrilátero $ABCD$ tiene $AB=BC=CD,$ $\angle ABC=70^\circ,$ y $\angle BCD=170^\circ.$ ¿Cuál es la medida en grados de $\angle BAD$ ?

Quadrilateral $ABCD$ has $AB=BC=CD,$ $\angle ABC=70^\circ,$ and $\angle BCD=170^\circ.$ What is the degree measure of $\angle BAD?$

$75$

$80$

$85$

$90$

$95$

Conceptos:persecución de ángulos triángulo isósceles triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Construye un triángulo equilátero $BMC$ del mismo lado de $BC$ que $A$ .

Build an equilateral triangle $BMC$ on the same side of $BC$ as $A$

Pista grande:

Muestra que $\triangle ABM$ y $\triangle MCD$ son isósceles, luego prueba que $M$ está sobre $\overline{AD}$ .

Show $\triangle ABM$ and $\triangle MCD$ are isosceles, then prove $M$ lies on $\overline{AD}$

Solución:

Sea $M$ el punto tal que $\triangle BMC$ es equilátero, del mismo lado de $BC$ que $A.$ Entonces $\angle ABM=70^\circ-60^\circ=10^\circ$ y $\angle MCD=170^\circ-60^\circ=110^\circ.$

Como $AB=BM$ y $MC=CD,$ los triángulos $ABM$ y $MCD$ son isósceles, dando $\angle AMB=85^\circ$ y $\angle CMD=35^\circ.$

Entonces $\angle AMD=360^\circ-85^\circ-60^\circ$ $-35^\circ$ $=180^\circ,$ así que $M$ está sobre $\overline{AD}$ y $\angle BAD=\angle BAM=85^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $M$ be the point with $\triangle BMC$ equilateral, on the same side of $BC$ as $A.$ Then $\angle ABM=70^\circ-60^\circ=10^\circ$ and $\angle MCD=170^\circ-60^\circ=110^\circ.$

Since $AB=BM$ and $MC=CD,$ triangles $ABM$ and $MCD$ are isosceles, giving $\angle AMB=85^\circ$ and $\angle CMD=35^\circ.$

Then $\angle AMD=360^\circ-85^\circ-60^\circ$ $-35^\circ$ $=180^\circ,$ so $M$ lies on $\overline{AD}$ and $\angle BAD=\angle BAM=85^\circ.$

Thus, the correct answer is C.

25.

Michael camina a razón de $5$ pies por segundo por un camino largo y recto. Hay botes de basura ubicados cada $200$ pies a lo largo del camino. Un camión de basura viaja a $10$ pies por segundo en la misma dirección que Michael y se detiene $30$ segundos en cada bote. Cuando Michael pasa por un bote, nota que el camión, delante de él, acaba de salir del siguiente bote. ¿Cuántas veces se encontrarán Michael y el camión?

Michael walks at the rate of $5$ feet per second on a long straight path. Trash pails are located every $200$ feet along the path. A garbage truck travels at $10$ feet per second in the same direction as Michael and stops for $30$ seconds at each pail. As Michael passes a pail, he notices the truck ahead of him just leaving the next pail. How many times will Michael and the truck meet?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo desigualdad simulación de procesos

Nivel de dificultad: 2090

Pista pequeña:

Numera los botes de modo que Michael empiece en el bote $0$ y el camión en el bote $1;$ rastrea los tiempos de llegada.

Number the pails so Michael starts at pail $0$ and the truck at pail $1;$ track arrival times

Pista grande:

Michael llega al bote $n$ a los $40n$ segundos; el camión sale del bote $n$ a los $50(n-1)$ segundos.

Michael reaches pail $n$ at $40n$ seconds; the truck leaves pail $n$ at $50(n-1)$ seconds

Solución:

Numera los botes de modo que Michael esté en el bote $0$ y el camión en el bote $1.$ Michael llega al bote $n$ a los $40n$ segundos. El camión sale del bote $n$ a los $50(n-1)$ segundos y llega allí a los $50(n-1)-30$ segundos.

Michael y el camión están juntos en el bote $n$ cuando $50(n-1)-30\le 40n$ $\le 50(n-1),$ lo que se simplifica a $5\le n\le 8.$

En el bote $5$ se encuentran cuando el camión parte, en los botes $6$ y $7$ Michael lo pasa, y en el bote $8$ se encuentran cuando el camión llega. Entre los botes $6$ y $7$ el camión debe adelantar a Michael una vez más, así que en total se encuentran $5$ veces.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Number the pails so Michael is at pail $0$ and the truck at pail $1.$ Michael reaches pail $n$ at $40n$ seconds. The truck leaves pail $n$ at $50(n-1)$ seconds and arrives there at $50(n-1)-30$ seconds.

Michael and the truck are together at pail $n$ when $50(n-1)-30\le 40n$ $\le 50(n-1),$ which simplifies to $5\le n\le 8.$

At pail $5$ they meet as the truck departs, at pails $6$ and $7$ Michael passes it, and at pail $8$ they meet as the truck arrives. Between pails $6$ and $7$ the truck must overtake Michael once more, so in total they meet $5$ times.

Thus, the correct answer is B.