Question

El cuadrilátero convexo $ABCD$ satisface $AB = 9$ , $CD = 12$ . Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $E,$ $AC = 14,$ y $\triangle AED$ y $\triangle BEC$ tienen áreas iguales. ¿Cuánto vale $AE$ ?

Convex quadrilateral $ABCD$ has $AB = 9$ and $CD = 12.$ Diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $E,$ $AC = 14,$ and $\triangle AED$ and $\triangle BEC$ have equal areas. What is $AE?$

$\dfrac{9}{2}$

$\dfrac{50}{11}$

$\dfrac{21}{4}$

$\dfrac{17}{3}$

$6$

Solución:

Como $[AED] = [BEC],$ sumar $[CED]$ a ambos da $[ACD] = [BCD].$ Estos comparten la base $CD,$ así que $A$ y $B$ equidistan de la recta $CD,$ lo que significa $AB \parallel CD.$

Entonces $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ con razón $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34,$ así que $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac34$ .

Con $AE + EC = AC = 14,$ obtenemos $AE = \dfrac{3}{7} \cdot 14 = 6$ .

Así, la respuesta correcta es E.

Since $[AED] = [BEC],$ adding $[CED]$ to both gives $[ACD] = [BCD].$ These share base $CD,$ so $A$ and $B$ are equidistant from line $CD,$ meaning $AB \parallel CD.$

Then $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ with ratio $\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34,$ so $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac34.$

With $AE + EC = AC = 14,$ we get $AE = \dfrac{3}{7} \cdot 14 = 6.$

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 10A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años