Question

El cuadrilátero convexo

ABCD

satisface

AB = 9

y

CD = 12.

Las diagonales

AC

y

BD

se cortan en

E,

AC = 14,

y

\triangle AED

y

\triangle BEC

tienen áreas iguales. ¿Cuánto vale

AE

?

Convex quadrilateral

ABCD

has

AB = 9

and

CD = 12.

Diagonals

AC

and

BD

intersect at

E,

AC = 14,

and

\triangle AED

and

\triangle BEC

have equal areas. What is

AE?

\dfrac{9}{2}

\dfrac{50}{11}

\dfrac{21}{4}

\dfrac{17}{3}

6

Respuesta: E

Conceptos:área del triángulo rectas paralelas semejanza

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Sumar

\triangle CED

a cada triángulo de igual área muestra que

\triangle ACD

y

\triangle BCD

tienen áreas iguales.

Adding

\triangle CED

to each equal-area triangle shows

\triangle ACD

and

\triangle BCD

have equal areas

Pista grande:

Las áreas iguales sobre la base común

CD

obligan a

AB \parallel CD,

haciendo que

\triangle ABE \sim \triangle CDE

.

Equal areas over the shared base

CD

force

AB \parallel CD,

making

\triangle ABE \sim \triangle CDE

Solución:

Como

[AED] = [BEC],

sumar

[CED]

a ambos da

[ACD] = [BCD].

Estos comparten la base

CD,

así que

A

y

B

equidistan de la recta

CD,

lo que significa

AB \parallel CD.

Entonces

\triangle ABE \sim \triangle CDE

con razón

\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34,

así que

\dfrac{AE}{EC} = \dfrac34

.

Con

AE + EC = AC = 14,

obtenemos

AE = \dfrac{3}{7} \cdot 14 = 6

.

Así, la respuesta correcta es E.

Since

[AED] = [BEC],

adding

[CED]

to both gives

[ACD] = [BCD].

These share base

CD,

so

A

and

B

are equidistant from line

CD,

meaning

AB \parallel CD.

Then

\triangle ABE \sim \triangle CDE

with ratio

\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{9}{12} = \dfrac34,

so

\dfrac{AE}{EC} = \dfrac34.

With

AE + EC = AC = 14,

we get

AE = \dfrac{3}{7} \cdot 14 = 6.

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 10A Problema 23

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años