Question

Las entradas de un arreglo $3 \times 3$ incluyen todos los dígitos del $1$ al $9,$ dispuestos de modo que las entradas de cada fila y cada columna estén en orden creciente. ¿Cuántos arreglos de este tipo hay?

The entries in a $3 \times 3$ array include all the digits from $1$ through $9,$ arranged so that the entries in every row and column are in increasing order. How many such arrays are there?

$18$

$24$

$36$

$42$

$60$

Solución:

Observa que $1$ y $9$ deben estar en las esquinas superior izquierda e inferior derecha, respectivamente. También debemos tener que $2$ y $8$ están junto a estas casillas.

Podemos entonces analizar por casos la casilla central. Observa que los únicos valores posibles son $4,$ $5,$ o $6.$

Caso 1: la central es $4$

El $3$ está necesariamente junto al $1,$ ya que no hay otra opción menor que $4.$

Cualquier número puede ir en la casilla junto al $8,$ pero entonces las otras dos casillas quedan fijas. Hay $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ casos (dos lugares para el $2,$ dos lugares para el $8,$ y tres opciones para la casilla adyacente al $8$ ).

Caso 2: la central es $5$

Podemos analizar por casos la posición del $3.$ Si el $3$ está en la casilla superior derecha, el $4$ está necesariamente junto al $1.$

Si el $8$ está encima del $9,$ entonces las otras dos casillas quedan fijas. Si está a la izquierda del $9,$ las otras dos casillas se pueden llenar de forma arbitraria.

Ahora considera cuando el $3$ está debajo del $1.$ Hay dos lugares para el $8,$ y la casilla junto al $8$ puede ser cualquier número.

Las otras dos casillas quedan entonces fijas. Esto significa que este caso tiene un total de $2(1 + 2 + 2 \cdot 3) = 18.$ Multiplicamos por dos porque el $2$ puede estar a la derecha o debajo del $1.$

Caso 3: la central es $6$

Esto es similar al caso $1$ , ya que el $7$ queda fijo en lugar del $3.$

El número total de arreglos es entonces $12 + 18 + 12 = 42.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that $1$ and $9$ must be in the top left and bottom right corners respectively. We must also have that $2$ and $8$ are next to these squares.

We can then case on the center square. Note that the only possible values are $4,$ $5,$ or $6.$

Case 1: the center is $4$

The $3$ is necessarily next to the $1,$ since there is no other option that is less than $4.$

Any number can be in the square next to the $8,$ but the other two squares are then fixed. There are $2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$ cases (two places for the $2,$ two places for the $8,$ and three choices for the square adjacent to $8$ ).

Case 2: the center is $5$

We can case on the position of the $3.$ If the $3$ is in the top right square, the $4$ is necessarily next to the $1.$

If the $8$ is above the $9,$ then the other two squares are fixed. If it is to the left of the $9,$ the other two squares can be filled arbitrarily.

Now consider when the $3$ is below the $1.$ There are two spots for the $8,$ and the square next to the $8$ can be any number.

The other two squares are then fixed. This means that this case has a total of $2(1 + 2 + 2 \cdot 3) = 18.$ We multiply by two since the $2$ can be either to the right of or below the $1.$

Case 3: the center is $6$

This is similar to case $1$ since the $7$ is fixed instead of the $3.$

The total number of arrangements is then $12 + 18 + 12 = 42.$

Thus, D is the correct answer.

2010 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años