Question

Siete piezas distintas de dulce se van a repartir entre tres bolsas. La bolsa roja y la bolsa azul deben recibir cada una al menos una pieza de dulce; la bolsa blanca puede quedar vacía. ¿Cuántas distribuciones son posibles?

Seven distinct pieces of candy are to be distributed among three bags. The red bag and the blue bag must each receive at least one piece of candy; the white bag may remain empty. How many arrangements are possible?

$1930$

$1931$

$1932$

$1933$

$1934$

Solución:

Podemos contar esto con conteo complementario. El número total de maneras de repartir los dulces sin restricciones es $3^7 = 2187.$

Para hallar el número de distribuciones inválidas, debemos contar las maneras en que la bolsa roja o la azul quedan vacías.

Para el caso en que la bolsa roja queda vacía, cada dulce tiene $2$ opciones de bolsa a la que puede ir. Hay entonces $2^7 = 128$ distribuciones para este caso. De forma similar, hay $128$ distribuciones para el caso en que la bolsa azul queda vacía.

Hay una superposición de un caso en que ambas bolsas quedan vacías. La respuesta final es entonces $2187 - (128 + 128 - 1) = 1932.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can count this with complementary counting. The total number of ways to distribute the candies with no restrictions is $3^7 = 2187.$

To find the number of invalid arrangements, we have to count the number of ways where either the red or blue bag is empty.

For the case where the red bag is empty, each candy has $2$ options for the bag that goes into. There are then $2^7 = 128$ arrangements for this case. Similarly, there are $128$ arrangements for the case where the blue bag is empty.

There is an overlap of one case where both bags are empty. The final answer is then $2187 - (128 + 128 - 1) = 1932.$

Thus, C is the correct answer.

2010 AMC 10B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años