Question

Ocho personas están sentadas alrededor de una mesa circular, cada una con una moneda justa. Las ocho personas lanzan sus monedas; quienes obtienen cara se ponen de pie, mientras que quienes obtienen cruz permanecen sentadas. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya dos personas adyacentes de pie?

Eight people are sitting around a circular table, each holding a fair coin. All eight people flip their coins and those who flip heads stand while those who flip tails remain seated. What is the probability that no two adjacent people will stand?

$\dfrac{47}{256}$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac{49}{256}$

$\dfrac{25}{128}$

$\dfrac{51}{256}$

Solución:

Cuenta los posibles conjuntos de personas que se ponen de pie. Para $0$ y $1$ persona de pie, hay $1$ y $8$ posibilidades.

Para $2$ personas de pie, elige cualquier par y resta los $8$ pares adyacentes: $\binom82-8=20$ .

Para $3$ personas de pie, primero elige una persona de pie. Entre los cinco asientos restantes que no son vecinos, hay $10$ pares posibles, pero $4$ de esos pares son adyacentes, dejando $6$ . Esto cuenta cada conjunto final tres veces, así que hay $8\cdot6/3=16$ posibilidades.

Para $4$ personas de pie, las únicas posibilidades son los dos conjuntos alternados. Así, el número de resultados favorables de los lanzamientos es $1+8+20+16+2=47$ . Como los $2^8=256$ resultados son igualmente probables, la probabilidad es $\frac{47}{256}$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Count the possible sets of people who stand. For $0$ and $1$ people standing, there are $1$ and $8$ possibilities.

For $2$ people standing, choose any pair and subtract the $8$ adjacent pairs: $\binom82-8=20$ .

For $3$ people standing, first choose one standing person. Among the remaining five non-neighbor seats, $10$ pairs are possible, but $4$ of those pairs are adjacent, leaving $6$ . This counts each final set three times, so there are $8\cdot6/3=16$ possibilities.

For $4$ people standing, the only possibilities are the two alternating sets. Thus the number of favorable coin-flip outcomes is $1+8+20+16+2=47$ . Since all $2^8=256$ outcomes are equally likely, the probability is $\frac{47}{256}$ .

Thus, A is the correct answer.

2015 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años