Soluciones del 2015 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

$(2^0-1+5^2+0)^{-1} \times 5$

What is the value of the following expression?

$(2^0-1+5^2+0)^{-1} \times 5$

$-125$

$-120$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{5}{24}$

$25$

Conceptos:orden de las operaciones exponente

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Primero evalúa lo que está dentro de los paréntesis.

Evaluate inside the parentheses first

Pista grande:

Después de simplificar los paréntesis, multiplica su recíproco por $5$ .

After simplifying the parentheses, multiply its reciprocal by $5$

Solución:

Podemos evaluarlo de la siguiente manera. $\begin{aligned} &(2^0-1+5^2+0)^{-1} \times 5 \\&=\dfrac{1}{1 - 1 + 25} \times 5 \\ &= \dfrac{5}{25}\\ &= \dfrac{1}{5} \end{aligned}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can evaluate it as follows. $\begin{aligned} &(2^0-1+5^2+0)^{-1} \times 5 \\&=\dfrac{1}{1 - 1 + 25} \times 5 \\ &= \dfrac{5}{25}\\ &= \dfrac{1}{5} \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

2.

Una caja contiene una colección de baldosas triangulares y cuadradas, en total $25$ baldosas. Estas baldosas tienen en conjunto $84$ aristas. ¿Cuántas baldosas cuadradas hay en la caja?

A box contains a collection of triangular and square tiles. There are $25$ tiles in the box, containing $84$ edges total. How many square tiles are there in the box?

$3$

$5$

$7$

$9$

$11$

Conceptos:sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Compara el total con el caso en que todas las baldosas son triangulares.

Compare the total to the case where all tiles are triangular

Pista grande:

Cada baldosa cuadrada aporta una arista más que una triangular.

Each square contributes one more edge than a triangle

Solución:

Sea $x$ el número de baldosas triangulares y $y$ el número de baldosas cuadradas. Entonces $x + y = 25$ y $3x + 4y = 84.$ Multiplicando la primera ecuación por $3$ , obtenemos $3x + 3y = 75$ y, restándola de la otra ecuación, resulta $y = 9.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number of triangular tiles and $y$ be the number of square tiles. We then have that $x + y = 25$ and $3x + 4y = 84.$ Multiplying the first equation by $3$ gives us $3x + 3y = 75$ and subtracting this from the other equation gives us $y = 9.$

Thus, D is the correct answer.

3.

Ann hizo una escalera de $3$ escalones usando $18$ palillos, como se muestra en la figura. ¿Cuántos palillos necesita agregar para completar una escalera de $5$ escalones?

Ann made a $3$ -step staircase using $18$ toothpicks as shown in the figure. How many toothpicks does she need to add to complete a $5$ -step staircase?

$9$

$18$

$20$

$22$

$24$

Conceptos:sucesión aritmética reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Observa cuántos palillos nuevos agrega el siguiente escalón.

Look at how many new toothpicks the next stair step adds

Pista grande:

La cantidad de palillos nuevos aumenta en $2$ con cada escalón adicional.

The number of new toothpicks increases by $2$ with each added step

Solución:

Intentemos encontrar un patrón entre el número de escalones y la cantidad de palillos necesarios.

Para una escalera de $1$ escalón, solo necesitaríamos $4$ palillos, es decir, un cuadrado.

Para una escalera de $2$ escalones, según el diagrama necesitaríamos $10$ palillos.

De manera similar, necesitaríamos $18$ palillos para una escalera de $3$ escalones.

Una escalera de $2$ escalones necesita $10 - 4 = 6$ palillos más que una de $1$ escalón. Una escalera de $3$ escalones necesita $18 - 10 = 8$ palillos más que una de $2$ escalones.

Siguiendo este patrón, vemos que una escalera de $4$ escalones necesitará $18 + 10 = 28$ palillos, y una escalera de $5$ escalones necesitará $28 + 12 = 40$ palillos.

Esto significa que Ann necesitaría agregar $40 - 18 = 22$ palillos más.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let us try to find a pattern between the number of toothpicks needed for the staircases.

For a $1$ -step staircase, we would only need $4$ toothpicks (just a square).

For a $2$ -step staircase, we would need $10$ toothpicks according to the diagram.

Similarly, we would need $18$ toothpicks for a $3$ -step staircase.

A $2$ -step staircase needs $10 - 4 = 6$ more toothpicks than a $1$ -step staircase. A $3$ -step staircase needs $18 - 10 = 8$ more toothpicks than a $2$ -step staircase.

Following this pattern, we can see that a $4$ -step staircase will need $18 + 10 = 28$ toothpicks, and a $5$ -step staircase will need $28 + 12 = 40$ toothpicks.

This means that Ann would need to add $40 - 18 = 22$ more toothpicks.

Thus, D is the correct answer.

4.

Pablo, Sofia y Mia recibieron algunos huevos de dulce en una fiesta. Pablo tenía el triple de huevos que Sofia, y Sofia tenía el doble de huevos que Mia. Pablo decide dar algunos de sus huevos a Sofia y Mia para que los tres tengan la misma cantidad de huevos. ¿Qué fracción de sus huevos debe dar Pablo a Sofia?

Pablo, Sofia, and Mia got some candy eggs at a party. Pablo had three times as many eggs as Sofia, and Sofia had twice as many eggs as Mia. Pablo decides to give some of his eggs to Sofia and Mia so that all three will have the same number of eggs. What fraction of his eggs should Pablo give to Sofia?

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:razón y proporción fracción

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Escribe a Mia, Sofia, Pablo como $m,2m,6m$ .

Write Mia, Sofia, Pablo as $m,2m,6m$

Pista grande:

Repartir por igual significa que cada persona termina con $3m$ huevos.

Equal sharing means each person ends with $3m$ eggs

Solución:

Sea $m$ el número de huevos de dulce que tenía Mia. Entonces Sofia tenía $2m$ huevos y Pablo tenía $6m$ huevos.

El número total de huevos es $m + 2m + 6m = 9m.$ Para que todos tengan la misma cantidad de huevos, cada uno debe tener $9m \div 3 = 3m$ huevos.

Sofia necesita $3m - 2m = m$ huevos más. Esto significa que Pablo debe darle a Sofia $\dfrac{m}{6m} = \dfrac{1}{6}$ de sus huevos.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $m$ be the number of candy eggs that Mia had. Then Sofia had $2m$ eggs and Pablo had $6m$ eggs.

The total number of eggs is then $m + 2m + 6m = 9m.$ For all of them to have the same number of eggs, they each must have $9m \div 3 = 3m$ eggs.

Sofia needs $3m - 2m = m$ more eggs. This means Pablo must give $\dfrac{m}{6m} = \dfrac{1}{6}$ of his eggs to Sofia.

Thus, B is the correct answer.

5.

El Sr. Patrick enseña matemáticas a $15$ estudiantes. Al calificar los exámenes descubrió que, cuando había calificado el examen de todos excepto el de Payton, el promedio de la clase era $80.$ Después de calificar el examen de Payton, el promedio pasó a ser $81.$ ¿Cuál fue la calificación de Payton en el examen?

Mr. Patrick teaches math to $15$ students. He was grading tests and found that when he graded everyone’s test except Payton’s, the average grade for the class was $80.$ After he graded Payton’s test, the class average became $81.$ What was Payton’s score on the test?

$81$

$85$

$91$

$94$

$95$

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

El puntaje total es igual al promedio multiplicado por el número de exámenes calificados.

Total score equals the average times the number of graded tests

Pista grande:

Resta del total de la clase el total de los primeros $14$ estudiantes.

Subtract the first $14$ students’ total from the full class total

Solución:

El total de los primeros $14$ exámenes calificados fue $14\cdot 80=1120$ .

Después de incluir el examen de Payton, el total pasó a ser $15\cdot 81=1215$ , así que la calificación de Payton fue $1215-1120=95$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The total for the first $14$ graded tests was $14\cdot 80=1120$ .

After Payton’s test was included, the total became $15\cdot 81=1215$ . Therefore Payton’s score was $1215-1120=95$ .

Thus, E is the correct answer.

6.

La suma de dos números positivos es $5$ veces su diferencia. ¿Cuál es la razón entre el número mayor y el número menor?

The sum of two positive numbers is $5$ times their difference. What is the ratio of the larger number to the smaller number?

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{9}{5}$

$2$

$\dfrac{5}{2}$

Conceptos:ecuación lineal razón y proporción

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Sea $L$ el número mayor y $S$ el menor.

Let the larger number be $L$ and the smaller be $S$

Pista grande:

Simplifica $L+S=5(L-S)$ .

Simplify $L+S=5(L-S)$

Solución:

Sean $x$ y $y$ los dos números, y supongamos que $x \gt y.$ Entonces $x + y = 5(x - y).$ Simplificando obtenemos $x + y = 5x - 5y$ $6y = 4x.$

Dividiendo ambos lados, obtenemos $\dfrac{x}{y} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $x$ and $y$ be the two numbers. Then we have that $x + y = 5(x - y).$ Note that we are assuming $x \gt y.$ This gives us $x + y = 5x - 5y$ $6y = 4x.$

Dividing through yields $\dfrac{x}{y} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}.$

Thus, B is the correct answer.

7.

¿Cuántos términos hay en la sucesión aritmética $13,$ $16,$ $19,$ $\dotsc,$ $70,$ $73$ ?

How many terms are in the arithmetic sequence $13,$ $16,$ $19,$ $\dotsc,$ $70,$ $73?$

$20$

$21$

$24$

$60$

$61$

Conceptos:sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Usa el primer término, el último término y la diferencia común.

Use the first term, last term, and common difference

Pista grande:

Cuenta los intervalos y luego suma un extremo.

Count intervals, then add one endpoint

Solución:

Recuerda que el $n$ -ésimo término de una sucesión aritmética es $a + d(n - 1),$ donde $a$ es el primer término y $d$ es la diferencia común.

En nuestro caso, $a = 13$ y $d = 3.$ Sustituyendo, obtenemos $\begin{aligned} 73 &= 13 + 3(n - 1) \\ 20&= n - 1 \\ n &= 21. \end{aligned}$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Recall that the $n$ th term of an arithmetic sequence is $a + d(n - 1),$ where $a$ is the first term and $d$ is the common difference.

For us, $a = 13$ and $d = 3.$ Plugging these in, we get that $\begin{aligned} 73 &= 13 + 3(n - 1) \\ 20&= n - 1 \\ n &= 21. \end{aligned}$ Thus, B is the correct answer.

8.

Hace dos años, Pete tenía el triple de la edad de su prima Claire. Dos años antes de eso, Pete tenía cuatro veces la edad de Claire. ¿En cuántos años la razón entre sus edades será $2:1$ ?

Two years ago Pete was three times as old as his cousin Claire. Two years before that, Pete was four times as old as Claire. In how many years will the ratio of their ages be $2:1?$

$2$

$4$

$5$

$6$

$8$

Conceptos:edades sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Traduce los dos enunciados sobre las edades usando las edades actuales.

Translate the two age statements using current ages

Pista grande:

Halla las edades actuales antes de plantear la razón futura.

Solve for current ages before setting the future ratio

Solución:

Sean $p$ y $c$ las edades actuales de Pete y Claire respectivamente.

El enunciado nos da $p - 2 = 3(c - 2)$ y $p - 4 = 4(c - 4).$ Simplificando ambas ecuaciones obtenemos $p = 3c - 4$ y $p = 4c - 12.$ Igualándolas, tenemos $3c - 4 = 4c - 12$ $c = 8.$

Esto significa que $p = 3 \cdot 8 - 4 = 20.$

Ahora necesitamos hallar el número de años ( $y$ ) hasta que $20 + y = 2(8 + y),$ lo que nos da $20 + y = 16 + 2y$ $y = 4.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $p$ and $c$ be Pete’s and Claire’s current ages respectively.

Then we have that $p - 2 = 3(c - 2)$ and $p - 4 = 4(c - 4).$ Simplifying both equations gives us $p = 3c - 4$ and $p = 4c - 12.$ Setting them equal, we have $3c - 4 = 4c - 12$ $c = 8.$

This means that $p = 3 \cdot 8 - 4 = 20.$

Now, we need to find the number of years ( $y$ ) until $20 + y = 2(8 + y),$ which gives us $20 + y = 16 + 2y$ $y = 4.$ Thus, B is the correct answer.

9.

Dos cilindros circulares rectos tienen el mismo volumen. El radio del segundo cilindro es $10\%$ mayor que el radio del primero. ¿Cuál es la relación entre las alturas de los dos cilindros?

Two right circular cylinders have the same volume. The radius of the second cylinder is $10\%$ more than the radius of the first. What is the relationship between the heights of the two cylinders?

La segunda altura es $10\%$ menor que la primera.

The second height is $10\%$ less than the first.

La primera altura es $10\%$ mayor que la segunda.

The first height is $10\%$ more than the second.

La segunda altura es $21\%$ menor que la primera.

The second height is $21\%$ less than the first.

La primera altura es $21\%$ mayor que la segunda.

The first height is $21\%$ more than the second.

La segunda altura es el $80\%$ de la primera.

The second height is $80\%$ of the first.

Conceptos:cilindro volumen porcentaje

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Volúmenes iguales significan que la altura cambia según el inverso del cuadrado del cambio del radio.

Equal volumes mean height changes by the reciprocal square of the radius change

Pista grande:

Usa $h_2=\frac{h_1}{(1.1)^2}$ .

Use $h_2=\frac{h_1}{(1.1)^2}$

Solución:

Sean $r_1$ y $h_1$ el radio y la altura del primer cilindro, y análogamente define $r_2$ y $h_2$ para el segundo cilindro.

Sabemos que $r_2 = \dfrac{11}{10}r_1$ y $\pi r_1^2h_1 = \pi r_2^2h_2.$

Sustituyendo y simplificando obtenemos $r_1^2h_1 = \dfrac{121}{100}r_1^2h_2,$ lo que nos dice que $h_1 = \dfrac{121}{100}h_2.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $r_1$ and $h_1$ be the radius and height of the first cylinder and similarly define $r_2$ and $h_2$ for the second cylinder.

We know that $r_2 = \dfrac{11}{10}r_1$ and $\pi r_1^2h_1 = \pi r_2^2h_2.$

Substituting and simplifying gives us $r_1^2h_1 = \dfrac{121}{100}r_1^2h_2,$ which tells us that $h_1 = \dfrac{121}{100}h_2.$

Thus, D is the correct answer.

10.

¿Cuántos reordenamientos de $abcd$ hay en los que dos letras adyacentes no sean también letras adyacentes en el alfabeto? Por ejemplo, ninguno de esos reordenamientos podría incluir $ab$ ni $ba.$

How many rearrangements of $abcd$ are there in which no two adjacent letters are also adjacent letters in the alphabet? For example, no such rearrangements could include either $ab$ or $ba.$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Prohíbe los pares de letras consecutivas del alfabeto en cualquier orden.

Forbid the adjacent alphabet pairs in either order

Pista grande:

Empezar con $b$ o $c$ es la única forma de terminar.

Starting with $b$ or $c$ is the only way to finish

Solución:

Los pares adyacentes prohibidos son $ab,ba,bc,cb,cd,dc.$

Si un ordenamiento empieza con $a,$ su segunda letra debe ser $c$ o $d.$

Después de $ac,$ cualquier orden de las letras restantes contiene $cb$ o $cd.$ Después de $ad,$ las letras restantes $b$ y $c$ deben quedar adyacentes. Por lo tanto, ningún ordenamiento válido empieza con $a.$

Por simetría, ningún ordenamiento válido empieza con $d.$

Si un ordenamiento empieza con $b,$ debe continuar con $d,$ luego $a,$ luego $c,$ dando $bdac.$

De manera similar, empezar con $c$ da únicamente $cadb.$ Por lo tanto, hay $2$ reordenamientos válidos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The forbidden adjacent pairs are $ab,ba,bc,cb,cd,dc.$

If an arrangement starts with $a,$ its second letter must be $c$ or $d.$

After $ac,$ either remaining order contains $cb$ or $cd.$ After $ad,$ the remaining $b$ and $c$ must be adjacent. Thus no valid arrangement starts with $a.$

By symmetry, no valid arrangement starts with $d.$

If an arrangement starts with $b,$ it must continue with $d,$ then $a,$ then $c,$ giving $bdac.$

Similarly, starting with $c$ gives only $cadb.$ Therefore there are $2$ valid rearrangements.

Thus, C is the correct answer.

11.

La razón entre el largo y el ancho de un rectángulo es $4:3.$ Si el rectángulo tiene una diagonal de longitud $d,$ entonces el área se puede expresar como $kd^2$ para cierta constante $k.$ ¿Cuál es $k$ ?

The ratio of the length to the width of a rectangle is $4:3.$ If the rectangle has diagonal of length $d,$ then the area may be expressed as $kd^2$ for some constant $k.$ What is $k?$

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{12}{25}$

$\dfrac{16}{25}$

$\dfrac{3}{4}$

Conceptos:rectángulo Teorema de Pitágoras razón y proporción

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Un rectángulo $3$ - $4$ - $5$ tiene una diagonal de escala $5x$ .

A $3$ - $4$ - $5$ rectangle has diagonal scale $5x$

Pista grande:

Expresa el área en términos de $d=5x$ .

Express the area in terms of $d=5x$

Solución:

Sean las longitudes de los lados $4x$ y $3x.$ Entonces la diagonal tiene longitud $\sqrt{(4x)^2 + (3x)^2} = \sqrt{25x^2} = 5x.$

El área del rectángulo es $4x \cdot 3x = 12x^2.$ Entonces obtenemos $kd^2 = 12x^2$ $k = \dfrac{12x^2}{25x^2} = \dfrac{12}{25}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let the side lengths be $4x$ and $3x.$ Then the diagonal has length $\sqrt{(4x)^2 + (3x)^2} = \sqrt{25x^2} = 5x.$

The area of the rectangle is $4x \cdot 3x = 12x^2.$ Then we get that $kd^2 = 12x^2$ $k = \dfrac{12x^2}{25x^2} = \dfrac{12}{25}.$

Thus, C is the correct answer.

12.

Los puntos $(\sqrt{\pi}, a)$ y $(\sqrt{\pi}, b)$ son puntos distintos de la gráfica de la ecuación $y^2 + x^4 = 2x^2 y + 1.$ ¿Cuál es el valor de $|a-b|$ ?

Points $(\sqrt{\pi}, a)$ and $(\sqrt{\pi}, b)$ are distinct points on the graph of $y^2 + x^4 = 2x^2 y + 1.$ What is $|a-b|?$

$1$

$\dfrac{\pi}{2}$

$2$

$\sqrt{1+\pi}$

$1 + \sqrt{\pi}$

Conceptos:completar el cuadrado cuadrática

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Sustituye $x=\sqrt{\pi}$ y completa un cuadrado en $y$ .

Substitute $x=\sqrt{\pi}$ and complete a square in $y$

Pista grande:

Los dos valores de $y$ son simétricos respecto a $\pi$ .

The two $y$ -values are symmetric around $\pi$

Solución:

Sustituye $x=\sqrt{\pi}$ . Entonces $x^2=\pi$ y $x^4=\pi^2$ , así que la ecuación se convierte en $y^2-2\pi y+\pi^2=1.$

Por lo tanto $(y-\pi)^2=1$ , lo que da los dos valores posibles $y=\pi+1$ y $y=\pi-1$ . Su distancia es $2$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Substitute $x=\sqrt{\pi}$ . Then $x^2=\pi$ and $x^4=\pi^2$ , so the equation becomes $y^2-2\pi y+\pi^2=1.$

Hence $(y-\pi)^2=1$ , giving the two possible values $y=\pi+1$ and $y=\pi-1$ . Their distance is $2$ .

Thus, C is the correct answer.

13.

Claudia tiene $12$ monedas, cada una de $5$ centavos o de $10$ centavos. Con una o más de sus monedas se pueden obtener exactamente $17$ valores distintos. ¿Cuántas monedas de $10$ centavos tiene Claudia?

Claudia has $12$ coins, each of which is a $5$ -cent coin or a $10$ -cent coin. There are exactly $17$ different values that can be obtained as combinations of one or more of her coins. How many $10$ -cent coins does Claudia have?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:dinero conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Cuenta los valores posibles en unidades de cinco centavos.

Count possible values in units of five cents

Pista grande:

Si hay $x$ monedas de cinco centavos, el mayor valor es $120-5x$ centavos.

If there are $x$ nickels, the largest value is $120-5x$ cents

Solución:

Sea $x$ el número de monedas de $5$ centavos. El número de monedas de $10$ centavos es $12 - x.$

Si $x=0,$ los únicos valores posibles son $10,20,\ldots,120$ centavos, apenas $12$ valores. Por tanto, $x>0.$ Al haber al menos una moneda de $5$ centavos, todo múltiplo de $5$ desde $5$ hasta el valor total $5x+10(12-x)=120-5x$ se puede obtener.

Hay $24 - x$ de estos múltiplos de $5,$ por lo que debe ser $x = 7$ para obtener $17$ valores distintos posibles.

El número de monedas de $10$ centavos es entonces $12 - 7 = 5.$

Así, C es la respuesta correcta.

Let the number of $5$ -cent coins be $x$ and the number of $10$ -cent coins be $12 - x.$

If $x=0,$ the only possible values are $10,20,\ldots,120$ cents, giving just $12$ values. Hence $x>0.$ Having at least one $5$ -cent coin then makes every multiple of $5$ from $5$ through the total value $5x+10(12-x)=120-5x$ obtainable.

There are $24 - x$ such multiples of $5,$ which means that $x = 7$ to get $17$ possible different values.

The number of $10$ -cent coins is therefore $12 - 7 = 5.$

Thus, C is the correct answer.

14.

El diagrama de abajo muestra la cara circular de un reloj con radio $20$ cm y un disco circular con radio $10$ cm tangente externamente a la cara del reloj en las $12$ en punto. El disco tiene una flecha pintada que inicialmente apunta verticalmente hacia arriba. Deja que el disco ruede en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de la cara del reloj. ¿En qué punto de la cara del reloj será tangente el disco cuando la flecha vuelva a apuntar verticalmente hacia arriba?

The diagram below shows the circular face of a clock with radius $20$ cm and a circular disk with radius $10$ cm externally tangent to the clock face at $12$ o’clock. The disk has an arrow painted on it, initially pointing in the upward vertical direction. Let the disk roll clockwise around the clock face. At what point on the clock face will the disk be tangent when the arrow is next pointing in the upward vertical direction?

las $2$ en punto

$2$ o’clock

las $3$ en punto

$3$ o’clock

las $4$ en punto

$4$ o’clock

las $6$ en punto

$6$ o’clock

las $8$ en punto

$8$ o’clock

Conceptos:circunferencia círculo razón y proporción

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Un disco que rueda externamente gira $\frac{R+r}{r}$ veces el ángulo central.

A disk rolling externally rotates $\frac{R+r}{r}$ times the central angle

Pista grande:

Iguala el giro total del disco a una vuelta completa.

Set the disk’s total rotation equal to one full turn

Solución:

El disco de radio $10$ rueda externamente alrededor de la cara del reloj de radio $20$ . Si el punto de tangencia recorre un ángulo central $\theta$ alrededor del reloj, el disco gira $\frac{20+10}{10}\theta=3\theta$ respecto a su dirección original.

La flecha vuelve a apuntar hacia arriba cuando $3\theta$ es un múltiplo positivo de $2\pi$ . La primera vez que esto ocurre es $\theta=\frac{2\pi}{3}$ , que es un tercio del camino alrededor del reloj desde las $12$ en punto, es decir, las $4$ en punto.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The disk of radius $10$ rolls externally around the clock face of radius $20$ . If the point of tangency moves through central angle $\theta$ around the clock, the disk rotates through $\frac{20+10}{10}\theta=3\theta$ relative to its original direction.

The arrow next points upward when $3\theta$ is a positive multiple of $2\pi$ . The first time this happens is $\theta=\frac{2\pi}{3}$ , which is one-third of the way around the clock from $12$ o’clock, namely $4$ o’clock.

Thus, C is the correct answer.

15.

Considera el conjunto de todas las fracciones $\dfrac{x}{y},$ donde $x$ y $y$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuántas de estas fracciones tienen la propiedad de que, si tanto el numerador como el denominador se aumentan en $1,$ el valor de la fracción aumenta en $10\%$ ?

Consider the set of all fractions $\dfrac{x}{y},$ where $x$ and $y$ are relatively prime positive integers. How many of these fractions have the property that if both numerator and denominator are increased by $1,$ the value of the fraction is increased by $10\%?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$\text{infinitas}$

$\text{infinitely many}$

Conceptos:Ecuación diofántica Truco de factorización favorito de Simon fracción

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Convierte la condición sobre la fracción en una factorización.

Turn the fraction condition into a factorization

Pista grande:

Solo pueden funcionar los pares de factores negativos con $y+11>11$ .

Only negative factor pairs with $y+11>11$ can work

Solución:

La condición es $\frac{x+1}{y+1}=\frac{11}{10}\cdot\frac{x}{y}.$ Multiplicando en cruz obtenemos $10y(x+1)=11x(y+1)$ , es decir, $xy+11x-10y=0$ .

Al factorizar por agrupación después de restar $110$ , obtenemos $(x-10)(y+11)=-110.$ Como $x,y$ son positivos, los pares de factores negativos útiles son $(-1,110)$ , $(-2,55)$ y $(-5,22)$ , que producen $(x,y)=(9,99),(8,44),(5,11)$ .

Solo $\frac{5}{11}$ tiene numerador y denominador primos entre sí, así que exactamente una fracción funciona.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The condition is $\frac{x+1}{y+1}=\frac{11}{10}\cdot\frac{x}{y}.$ Cross-multiplying gives $10y(x+1)=11x(y+1)$ , or $xy+11x-10y=0$ .

Factoring by grouping after subtracting $110$ gives $(x-10)(y+11)=-110.$ Since $x,y$ are positive, the useful negative factor pairs are $(-1,110)$ , $(-2,55)$ , and $(-5,22)$ , producing $(x,y)=(9,99),(8,44),(5,11)$ .

Only $\frac{5}{11}$ has relatively prime numerator and denominator, so exactly one fraction works.

Thus, B is the correct answer.

16.

Si $y+4 = (x-2)^2,$ $x+4 = (y-2)^2,$ y $x \neq y,$ ¿cuál es el valor de $x^2+y^2$

If $y+4 = (x-2)^2,$ $x+4 = (y-2)^2,$ and $x \neq y,$ what is the value of $x^2+y^2$

$10$

$15$

$20$

$25$

$30$

Conceptos:sistema de ecuaciones simetría (álgebra)manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Suma y resta las dos ecuaciones por separado.

Add and subtract the two equations separately

Pista grande:

Como $x\ne y$ , divide la ecuación de la diferencia entre $x-y$ .

Since $x\ne y$ , divide the difference equation by $x-y$

Solución:

Sumando las dos ecuaciones obtenemos $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8$ $= x + y + 8.$ Podemos reordenar esta ecuación para obtener $x^2 + y^2 = 5(x + y).$ Luego podemos restarlas para obtener $x^2 - y^2 - 4x + 4y = y - x.$ Reordenando una vez más, encontramos $x^2 - y^2 = 3(x - y).$ Tenemos que $x \neq y$ , lo que significa que podemos dividir ambos lados entre $x - y$ . Esto nos da $x + y = 3$ $x^2 + y^2 = 15.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Adding the two equations gives us $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8$ $= x + y + 8.$ We can rearrange this equation to get $x^2 + y^2 = 5(x + y).$ We can then subtract them to get $x^2 - y^2 - 4x + 4y = y - x.$ Once again rearranging, we can find $x^2 - y^2 = 3(x - y).$ We have that $x \neq y,$ which means that we can divide both sides by $x - y.$ This gives us $x + y = 3$ $x^2 + y^2 = 15.$

Thus, B is the correct answer.

17.

Una recta que pasa por el origen corta tanto a la recta $x = 1$ como a la recta $y=1+ \dfrac{\sqrt{3}}{3} x.$ Las tres rectas forman un triángulo equilátero. ¿Cuál es el perímetro del triángulo?

A line that passes through the origin intersects both the line $x = 1$ and the line $y=1+ \dfrac{\sqrt{3}}{3} x.$ The three lines create an equilateral triangle. What is the perimeter of the triangle?

$2\sqrt{6}$

$2 + 2\sqrt{3}$

$6$

$3 + 2\sqrt{3}$

$6 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Conceptos:geometría analítica triángulo equilátero pendiente

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

La tercera recta debe formar un ángulo de $60^\circ$ con el lado vertical.

The third line must make a $60^\circ$ angle with the vertical side

Pista grande:

Evalúa las alturas de las dos intersecciones en $x=1$ .

Evaluate the two intersection heights at $x=1$

Solución:

Como uno de los lados del triángulo equilátero es una recta vertical, el eje de simetría perpendicular a este lado debe ser horizontal.

Esto significa que la pendiente del tercer lado debe ser opuesta a la pendiente del segundo lado, que sería $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$

Para hallar el perímetro, solo necesitamos hallar la longitud de uno de los lados del triángulo.

Podemos sustituir $x = 1$ en las otras dos ecuaciones para obtener los dos vértices sobre la recta vertical.

Los dos valores de $y$ son $1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ y $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$ Su diferencia es $1 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3},$ por lo que el perímetro es $3 \cdot \left(1 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right) = 3 + 2\sqrt{3}.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since one of the sides of the equilateral triangle is a vertical line, the line of symmetry perpendicular to this side must be horizontal.

This means that the slope of the third side must be opposite the slope of the second side, which would be $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$

To find the perimeter, we only need to find the length of one of the sides of the triangle.

We can plug in $x = 1$ into the two other equations to get the two vertices on the vertical line.

The two $y$ -values are $1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ and $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$ Their difference is $1 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3},$ which makes the perimeter $3 \cdot \left(1 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right) = 3 + 2\sqrt{3}.$ Thus, D is the correct answer.

18.

Los números hexadecimales (base $16$ ) se escriben usando los dígitos $0$ a $9$ , así como las letras $A$ a $F$ para representar $10$ a $15.$ Entre los primeros $1000$ enteros positivos, hay $n$ cuya representación hexadecimal contiene solo dígitos numéricos. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $n$ ?

Hexadecimal (base- $16$ ) numbers are written using numeric digits $0$ through $9$ as well as the letters $A$ through $F$ to represent $10$ through $15.$ Among the first $1000$ positive integers, there are $n$ whose hexadecimal representation contains only numeric digits. What is the sum of the digits of $n?$

$17$

$18$

$19$

$20$

$21$

Conceptos:base numérica dígitos conteo básico

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Cuenta las cadenas hexadecimales válidas hasta $3E8_{16}$ .

Count valid hexadecimal strings up to $3E8_{16}$

Pista grande:

Completa con ceros a la izquierda las representaciones hexadecimales más cortas antes de contar.

Pad shorter hexadecimal representations with leading zeros before counting digit choices

Solución:

En hexadecimal, $1000=3E8_{16}.$ Completamos cada representación más corta con ceros iniciales hasta tener tres dígitos. Cada cadena formada solo por dígitos desde $000_{16}$ hasta $399_{16}$ es como máximo $3E8_{16},$ y estas son todas las posibilidades.

El primer dígito tiene $4$ opciones y cada uno de los otros dos tiene $10$ opciones. Esto da $4\cdot10\cdot10=400$ cadenas, incluida $000_{16}.$ Al excluir el cero, queda $n=399.$

La suma de los dígitos de $399$ es $21.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

In hexadecimal, $1000=3E8_{16}.$ Pad each shorter representation to three digits with leading zeros. Every numeric-only string from $000_{16}$ through $399_{16}$ is at most $3E8_{16},$ and these are all the possibilities.

The first digit has $4$ choices, and each of the other two digits has $10$ choices. This gives $4\cdot10\cdot10=400$ strings, including $000_{16}.$ Excluding zero leaves $n=399.$

The sum of the digits in $399$ is $21.$

Thus, E is the correct answer.

19.

El triángulo rectángulo isósceles $ABC$ tiene el ángulo recto en $C$ y área $12.5.$ Los rayos que trisecan $\angle ACB$ cortan a $AB$ en $D$ y $E.$ ¿Cuál es el área de $\triangle CDE$ ?

The isosceles right triangle $ABC$ has right angle at $C$ and area $12.5.$ The rays trisecting $\angle ACB$ intersect $AB$ at $D$ and $E.$ What is the area of $\triangle CDE?$

$\dfrac{5\sqrt{2}}{3}$

$\dfrac{50\sqrt{3}-75}{4}$

$\dfrac{15\sqrt{3}}{8}$

$\dfrac{50-25\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{25}{6}$

Conceptos:triángulo rectángulo especial descomposición de áreas área del triángulo

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Usa el trisector de $30^\circ$ y resta dos triángulos congruentes de las esquinas.

Use the $30^\circ$ trisector and subtract two congruent corner triangles

Pista grande:

Si $AC=BC=5$ , halla la altura del $\triangle ACD$ .

If $AC=BC=5$ , find the height of $\triangle ACD$

Solución:

Como $\triangle ABC$ es rectángulo isósceles con área $12.5$ , sus catetos tienen longitud $5$ . Los trisectores hacen $\angle ACD=30^\circ$ y $\angle BCE=30^\circ$ , por lo que $\triangle ACD$ y $\triangle BCE$ tienen áreas iguales.

Traza una perpendicular desde $D$ hacia $AC,$ con pie $F.$ Como $D$ está sobre $AB$ y $\angle A=45^\circ,$ $\triangle AFD$ es rectángulo isósceles. Sea $AF=DF=h.$ Entonces $CF=5-h,$ y el ángulo de $30^\circ$ da $\frac{CF}{DF}=\sqrt{3}.$ Por lo tanto, $5-h=h\sqrt{3}$ , así que $h=\frac{5}{1+\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}-5}{2}$ .

Por lo tanto, $\begin{aligned} &[ACD]=\frac12\cdot 5\cdot h \\ &=\frac{25\sqrt{3}-25}{4}. \end{aligned}$ Restando del $\triangle ABC$ los dos triángulos congruentes de las esquinas, $\begin{aligned} &[CDE]=\frac{25}{2} \\ &\quad {}-2\cdot\frac{25\sqrt{3}-25}{4} \\ &=\frac{50-25\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Since $\triangle ABC$ is isosceles right with area $12.5$ , its legs have length $5$ . The trisectors make $\angle ACD=30^\circ$ and $\angle BCE=30^\circ$ , so $\triangle ACD$ and $\triangle BCE$ have equal area.

Drop a perpendicular from $D$ to $AC,$ with foot $F.$ Since $D$ lies on $AB$ and $\angle A=45^\circ,$ $\triangle AFD$ is isosceles right. Let $AF=DF=h.$ Then $CF=5-h,$ and the $30^\circ$ angle gives $\frac{CF}{DF}=\sqrt{3}.$ Thus $5-h=h\sqrt{3}$ , so $h=\frac{5}{1+\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}-5}{2}$ .

Therefore $\begin{aligned} &[ACD]=\frac12\cdot 5\cdot h \\ &=\frac{25\sqrt{3}-25}{4}. \end{aligned}$ Subtracting the two congruent corner triangles from $\triangle ABC$ , $\begin{aligned} &[CDE]=\frac{25}{2} \\ &\quad {}-2\cdot\frac{25\sqrt{3}-25}{4} \\ &=\frac{50-25\sqrt{3}}{2}. \end{aligned}$

Thus, D is the correct answer.

20.

Un rectángulo con longitudes de lados enteras positivas en $\mathrm{cm}$ tiene área $A$ $\mathrm{cm}^2$ y perímetro $P$ $\mathrm{cm}.$ ¿Cuál de los siguientes números no puede ser igual a $A+P$ ?

A rectangle with positive integer side lengths in $\mathrm{cm}$ has area $A$ $\mathrm{cm}^2$ and perimeter $P$ $\mathrm{cm}.$ Which of the following numbers cannot equal $A+P?$

$100$

$102$

$104$

$106$

$108$

Conceptos:área perímetro Truco de factorización favorito de Simon

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Factoriza $A+P+4$ como $(x+2)(y+2)$ .

Factor $A+P+4$ as $(x+2)(y+2)$

Pista grande:

Prueba las opciones después de sumar $4$ .

Test the choices after adding $4$

Solución:

Sean las longitudes de los lados enteros positivos $x$ y $y$ . Entonces $\begin{aligned} &A+P=xy+2x+2y \\ &=(x+2)(y+2)-4. \end{aligned}$ Por lo tanto, $A+P+4$ debe factorizarse en dos enteros, ambos al menos $3$ .

Las opciones de respuesta más $4$ son $104,106,108,110,112$ . Todas excepto $106$ tienen una factorización con ambos factores al menos $3$ : $104=4\cdot26,$ $108=9\cdot12,$ $110=10\cdot11,$ $112=7\cdot16.$ Pero $106=2\cdot53$ , así que no puede ser igual a $(x+2)(y+2)$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let the side lengths be positive integers $x$ and $y$ . Then $\begin{aligned} &A+P=xy+2x+2y \\ &=(x+2)(y+2)-4. \end{aligned}$ Hence $A+P+4$ must factor into two integers both at least $3$ .

The answer choices plus $4$ are $104,106,108,110,112$ . All except $106$ have a factorization with both factors at least $3$ : $104=4\cdot26,$ $108=9\cdot12,$ $110=10\cdot11,$ $112=7\cdot16.$ But $106=2\cdot53$ , so it cannot equal $(x+2)(y+2)$ .

Thus, B is the correct answer.

21.

El tetraedro $ABCD$ tiene $AB=5,$ $AC=3,$ $BC=4,$ $BD=4,$ $AD=3,$ y $CD=\tfrac{12}5\sqrt2.$ ¿Cuál es el volumen del tetraedro?

Tetrahedron $ABCD$ has $AB=5,$ $AC=3,$ $BC=4,$ $BD=4,$ $AD=3,$ and $CD=\tfrac{12}5\sqrt2.$ What is the volume of the tetrahedron?

$3\sqrt2$

$2\sqrt5$

$\dfrac{24}5$

$3\sqrt{3}$

$\dfrac{24}5\sqrt2$

Conceptos:Geometría 3D volumen triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Coloca los dos triángulos $3$ - $4$ - $5$ sobre una base común $AB$ .

Put the two $3$ - $4$ - $5$ triangles on a common base $AB$

Pista grande:

$CD=(\frac{12}{5})\sqrt2$ hace que las dos alturas sean perpendiculares.

$CD=(\frac{12}{5})\sqrt2$ makes the two altitudes perpendicular

Solución:

Afirmamos que los planos de los triángulos $ABC$ y $ABD$ son perpendiculares entre sí.

Podemos demostrarlo trazando las perpendiculares desde $C$ y $D$ hacia $AB$ .

Como $AC = AD$ y $BC = BD,$ los pies de estas alturas coinciden en el punto $P.$

Entonces $CP = DP = \dfrac{3 \cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}.$ Además, $CD = CP\sqrt{2},$ lo que muestra que $\triangle CPD$ es un triángulo rectángulo isósceles y $CP\perp DP.$

Como $CP\perp AB$ y $CP\perp DP$ , el segmento $CP$ es perpendicular al plano $ABD$ . Finalmente, el volumen del tetraedro es $\dfrac{1}{3}[ABD] \cdot CP = \dfrac{6}{3} \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{24}{5}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We claim that the planes $ABC$ and $ABD$ are perpendicular to each other.

We can show this by dropping the perpendiculars from $C$ and $D$ to $AB$ .

Since $AC = AD$ and $BC = BD,$ we have that the feet of these altitudes will coincide at point $P.$

Then we have that $CP = DP = \dfrac{3 \cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}.$ We also have $CD = CP\sqrt{2},$ so $\triangle CPD$ is an isosceles right triangle and $CP\perp DP.$

Since $CP\perp AB$ and $CP\perp DP$ , the segment $CP$ is perpendicular to the plane $ABD$ . Finally, the volume of the tetrahedron is $\dfrac{1}{3}[ABD] \cdot CP = \dfrac{6}{3} \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{24}{5}.$

Thus, C is the correct answer.

22.

Ocho personas están sentadas alrededor de una mesa circular, cada una con una moneda justa. Las ocho personas lanzan sus monedas; quienes obtienen cara se ponen de pie, mientras que quienes obtienen cruz permanecen sentadas. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya dos personas adyacentes de pie?

Eight people are sitting around a circular table, each holding a fair coin. All eight people flip their coins and those who flip heads stand while those who flip tails remain seated. What is the probability that no two adjacent people will stand?

$\dfrac{47}{256}$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac{49}{256}$

$\dfrac{25}{128}$

$\dfrac{51}{256}$

Conceptos:arreglos con restricciones probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Cuenta los subconjuntos de un ciclo según el número de personas de pie.

Count subsets of a cycle by the number of standing people

Pista grande:

Separa el conteo en los casos de $0,1,2,3,$ o $4$ caras.

Separate the count into cases with $0,1,2,3,$ or $4$ heads

Solución:

Cuenta los posibles conjuntos de personas que se ponen de pie. Para $0$ y $1$ persona de pie, hay $1$ y $8$ posibilidades.

Para $2$ personas de pie, elige cualquier par y resta los $8$ pares adyacentes: $\binom82-8=20$ .

Para $3$ personas de pie, primero elige una persona de pie. Entre los cinco asientos restantes que no son vecinos, hay $10$ pares posibles, pero $4$ de esos pares son adyacentes, dejando $6$ . Esto cuenta cada conjunto final tres veces, así que hay $\frac{8\cdot6}{3}=16$ posibilidades.

Para $4$ personas de pie, las únicas posibilidades son los dos conjuntos alternados. Así, el número de resultados favorables de los lanzamientos es $1+8+20+16+2=47$ . Como los $2^8=256$ resultados son igualmente probables, la probabilidad es $\frac{47}{256}$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Count the possible sets of people who stand. For $0$ and $1$ people standing, there are $1$ and $8$ possibilities.

For $2$ people standing, choose any pair and subtract the $8$ adjacent pairs: $\binom82-8=20$ .

For $3$ people standing, first choose one standing person. Among the remaining five non-neighbor seats, $10$ pairs are possible, but $4$ of those pairs are adjacent, leaving $6$ . This counts each final set three times, so there are $\frac{8\cdot6}{3}=16$ possibilities.

For $4$ people standing, the only possibilities are the two alternating sets. Thus the number of favorable coin-flip outcomes is $1+8+20+16+2=47$ . Since all $2^8=256$ outcomes are equally likely, the probability is $\frac{47}{256}$ .

Thus, A is the correct answer.

23.

Los ceros de la función $f(x)=x^2-ax+2a$ son enteros. ¿Cuál es la suma de los posibles valores de $a$ ?

The zeros of the function $f(x)=x^2-ax+2a$ are integers. What is the sum of the possible values of $a?$

$7$

$8$

$16$

$17$

$18$

Conceptos:Fórmulas de Vieta Truco de factorización favorito de Simon cuadrática

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Sean $r,s$ las raíces enteras y factoriza $(r-2)(s-2)$ .

Let integer roots be $r,s$ and factor $(r-2)(s-2)$

Pista grande:

Los pares de factores de $4$ dan los posibles valores de $a$ .

The factor pairs of $4$ give the possible values of $a$

Solución:

Sean los ceros $r$ y $s.$ Usando las fórmulas de Vieta, tenemos que $a = r + s$ y $2a = rs.$

Entonces obtenemos $rs = 2(r + s),$ que se reordena como $rs - 2r - 2s = 0$ $rs - 2r - 2s + 4 = 4$ $(r - 2)(s - 2) = 4.$

Los únicos pares posibles $(r - 2, s - 2)$ que funcionan son $(1, 4), (-1, -4), (4, 1), (-4, -1),$ $(2, 2), (-2, -2).$ Para cualquiera de estos pares, tenemos $a = r - 2 + s - 2 + 4.$ Los valores distintos de $a$ son $-1, 0, 8, 9.$ La suma de estos valores es $-1 + 8 + 9 = 16.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let the zeros be $r$ and $s.$ Using Vieta’s formulas, we have that $a = r + s$ and $2a = rs.$

Then we get that $rs = 2(r + s),$ which rearranges to $rs - 2r - 2s = 0$ $rs - 2r - 2s + 4 = 4$ $(r - 2)(s - 2) = 4.$

The only possible pairs $(r - 2, s - 2)$ that work are $(1, 4), (-1, -4), (4, 1), (-4, -1),$ $(2, 2), (-2, -2).$ For any of these pairs, we have that $a = r - 2 + s - 2 + 4.$ We want all the such unique values of $a.$ We get that they are $-1, 0, 8, 9.$ The sum of these values is $-1 + 8 + 9 = 16.$

Thus, C is the correct answer.

24.

Para algunos enteros positivos $p,$ existe un cuadrilátero $ABCD$ con longitudes de lados enteras positivas, perímetro $p,$ ángulos rectos en $B$ y $C,$ $AB=2,$ y $CD=AD.$ ¿Cuántos valores distintos de $p < 2015$ son posibles?

For some positive integers $p,$ there is a quadrilateral $ABCD$ with positive integer side lengths, perimeter $p,$ right angles at $B$ and $C,$ $AB=2,$ and $CD=AD.$ How many different values of $p < 2015$ are possible?

$30$

$31$

$61$

$62$

$63$

Conceptos:Teorema de Pitágoras Ecuación diofántica perímetro

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Toma $x=2k$ a partir del triángulo rectángulo del diagrama.

Set $x=2k$ from the right triangle in the diagram

Pista grande:

Usa $p=2k^2+2k+4$ .

Use $p=2k^2+2k+4$

Solución:

Sea $BC=x$ y $CD=AD=y$ . Bajando la altura desde $A$ hacia $CD$ se obtiene un triángulo rectángulo con catetos $x$ y $y-2$ , e hipotenusa $y$ . Por lo tanto, $(y-2)^2+x^2=y^2,$ así que $x^2=4(y-1)$ .

Como $x$ es un entero, escribimos $x=2k$ . Entonces $y=k^2+1$ , y el perímetro es $\begin{aligned} &p=2+x+y+y \\ &=2k^2+2k+4. \end{aligned}$

Necesitamos $2k^2+2k+4<2015$ , es decir, $k^2+k<1005.5$ . Esto se cumple para $k=1,2,\ldots,31$ , mientras que $k=32$ es demasiado grande. Por lo tanto, hay $31$ perímetros posibles.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $BC=x$ and $CD=AD=y$ . Dropping the altitude from $A$ to $CD$ gives a right triangle with legs $x$ and $y-2$ , and hypotenuse $y$ . Therefore $(y-2)^2+x^2=y^2,$ so $x^2=4(y-1)$ .

Since $x$ is an integer, write $x=2k$ . Then $y=k^2+1$ , and the perimeter is $\begin{aligned} &p=2+x+y+y \\ &=2k^2+2k+4. \end{aligned}$

We need $2k^2+2k+4<2015$ , or $k^2+k<1005.5$ . This holds for $k=1,2,\ldots,31$ , while $k=32$ is too large. Thus there are $31$ possible perimeters.

Thus, B is the correct answer.

25.

Sea $S$ un cuadrado de lado $1.$ Se eligen dos puntos de forma independiente y al azar sobre los lados de $S.$ La probabilidad de que la distancia en línea recta entre los puntos sea al menos $\dfrac{1}{2}$ es $\dfrac{a-b\pi}{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos con $\gcd(a,b,c)=1.$ ¿Cuál es $a+b+c$ ?

Let $S$ be a square of side length $1.$ Two points are chosen independently at random on the sides of $S.$ The probability that the straight-line distance between the points is at least $\dfrac{1}{2}$ is $\dfrac{a-b\pi}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers with $\gcd(a,b,c)=1.$ What is $a+b+c?$

$59$

$60$

$61$

$62$

$63$

Conceptos:probabilidad geométrica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Condiciona según si el segundo punto está en el mismo lado, en un lado adyacente o en el lado opuesto.

Condition on whether the second point is on the same, adjacent, or opposite side

Pista grande:

En el caso de lados adyacentes, la región de fracaso es un cuarto de círculo de radio $\frac{1}{2}$ .

The adjacent-side case removes a quarter circle of radius $\frac{1}{2}$

Solución:

Fija uno de los dos puntos. El segundo punto está en el mismo lado con probabilidad $\frac14$ , en un lado adyacente con probabilidad $\frac12$ y en el lado opuesto con probabilidad $\frac14$ .

En el mismo lado, dos coordenadas $a,b\in[0,1]$ están a distancia al menos $\frac12$ cuando $|a-b|\ge\frac12$ . Esta región consiste en dos triángulos rectángulos con área total $\frac14$ .

En lados adyacentes, la distancia tiene la forma $\sqrt{a^2+b^2}$ . La región de fracaso es un cuarto de círculo de radio $\frac12$ , así que la probabilidad de éxito es $1-\frac{\pi}{16}$ .

En lados opuestos, la distancia siempre es al menos $1$ , así que la probabilidad de éxito es $1$ . Por lo tanto, la probabilidad buscada es $\begin{aligned} &\frac14\cdot\frac14 \\ &\quad {}+\frac12\left(1-\frac{\pi}{16}\right) \\ &\quad {}+\frac14=\frac{26-\pi}{32}. \end{aligned}$ Por lo tanto, $a+b+c=26+1+32=59$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Fix one of the two points. The second point is on the same side with probability $\frac14$ , on an adjacent side with probability $\frac12$ , and on the opposite side with probability $\frac14$ .

On the same side, two coordinates $a,b\in[0,1]$ are at distance at least $\frac12$ when $|a-b|\ge\frac12$ . This region consists of two right triangles with total area $\frac14$ .

On adjacent sides, the distance has the form $\sqrt{a^2+b^2}$ . The failing region is a quarter circle of radius $\frac12$ , so the success probability is $1-\frac{\pi}{16}$ .

On opposite sides, the distance is always at least $1$ , so the success probability is $1$ . Therefore the desired probability is $\begin{aligned} &\frac14\cdot\frac14 \\ &\quad {}+\frac12\left(1-\frac{\pi}{16}\right) \\ &\quad {}+\frac14=\frac{26-\pi}{32}. \end{aligned}$ Hence $a+b+c=26+1+32=59$ .

Thus, A is the correct answer.