Question

Se eligen números reales entre $0$ y $1,$ inclusive, de la siguiente manera. Se lanza una moneda justa. Si sale cara, se lanza de nuevo y el número elegido es $0$ si el segundo lanzamiento es cara, y $1$ si el segundo lanzamiento es cruz. Por otro lado, si el primer lanzamiento es cruz, entonces el número se elige uniformemente al azar del intervalo cerrado $[0,1].$ Dos números aleatorios $x$ e $y$ se eligen de forma independiente de esta manera. ¿Cuál es la probabilidad de que $|x-y| > \tfrac{1}{2}$ ?

Real numbers between $0$ and $1,$ inclusive, are chosen in the following manner. A fair coin is flipped. If it lands heads, then it is flipped again and the chosen number is $0$ if the second flip is heads, and $1$ if the second flip is tails. On the other hand, if the first coin flip is tails, then the number is chosen uniformly at random from the closed interval $[0,1].$ Two random numbers $x$ and $y$ are chosen independently in this manner. What is the probability that $|x-y| > \tfrac{1}{2}?$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{9}{16}$

$\dfrac{2}{3}$

Solución:

Podemos separar en casos según si $x$ e $y$ se eligen del intervalo o de $0$ y $1.$ Cada caso tiene una probabilidad de $\frac{1}{4}$ de ocurrir, ya que dependen de dos lanzamientos de moneda.

Caso $1: x$ e $y$ son $0$ o $1$

$x$ e $y$ deben ser diferentes, lo que ocurre con probabilidad $\frac{1}{2}$ .

Caso $2: x$ es $0$ o $1,$ e $y$ se elige de $[0, 1]$

Si $x = 0,$ entonces $y$ debe elegirse de $\left(\dfrac{1}{2}, 1\right],$ y si $x = 1,$ entonces $y$ debe elegirse de $\left[0, \dfrac{1}{2}\right).$

Esto significa que $y$ siempre tiene una probabilidad de $\frac{1}{2}$ de ser elegido del intervalo correcto.

Caso $3: x$ se elige de $[0, 1],$ e $y$ es $0$ o $1$

Esto tiene la misma probabilidad que el caso $2$ por simetría.

$4: x$ e $y$ se eligen de $[0, 1]$

Podemos usar probabilidad geométrica, ya que trabajamos con un número infinito de pares $(x, y)$ . Graficamos $|x - y| \gt \frac{1}{2}.$

El área sombreada cubre $\frac{1}{4}$ de la gráfica, lo que muestra que hay una probabilidad de $\frac{1}{4}$ de que este caso funcione.

Sumando todas las probabilidades, obtenemos $\begin{align*} \dfrac{1}{4}\left(3 \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right) &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{7}{4}\\&= \dfrac{7}{16}. \end{align*}$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can case on whether $x$ and $y$ are chosen from the interval or from $0$ and $1.$ Each case has a $\frac{1}{4}$ chance of happening, since they depend on two coin flips.

Case $1: x$ and $y$ are either $0$ or $1$

$x$ and $y$ need to be different, which happens with a $\frac{1}{2}$ probability.

Case $2: x$ is either $0$ or $1,$ and $y$ is chosen from $[0, 1]$

If $x = 0,$ then $y$ has to be chosen from $\left(\dfrac{1}{2}, 1\right],$ and if $x = 1,$ then $y$ has to be chosen from $\left[0, \dfrac{1}{2}\right).$

This means that $y$ always has a $\frac{1}{2}$ probability of being chosen from the correct interval.

Case $3: x$ is chosen from $[0, 1],$ and $y$ is either $0$ or $1$

This has the same probability as case $2$ due to symmetry.

$4: x$ and $y$ are chosen from $[0, 1]$

We can use geometric probability since we are working with an infinite number of $(x, y)$ pairs. We graph $|x - y| \gt \frac{1}{2}.$

The shaded area covers $\frac{1}{4}$ of the graph, showing that there is a $\frac{1}{4}$ probability of this case working.

Adding up all the probabilities, we get $\begin{align*} \dfrac{1}{4}\left(3 \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right) &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{7}{4}\\&= \dfrac{7}{16}. \end{align*}$

Thus, B is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años